а)  Обо­зна­чим ∠CBD  =  α. Тре­уголь­ник BMD рав­но­бед­рен­ный, по­это­му ∠DBM = ∠BDM = ∠CBD  =  α.

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ACB и BDA равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му ∠ACB = ∠ADB  =  α.

Пусть H  — точка пе­ре­се­че­ния BM и AC. Тогда BH  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Зна­чит, ∠ABH = ∠ACB  =  α. Сле­до­ва­тель­но,

б)  Имеем

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CMD на­хо­дим

Пусть O  — центр пря­мо­уголь­ни­ка ABCD. Рас­сто­я­ние от цен­тра O пря­мо­уголь­ни­ка ABCD до пря­мой CM равно вы­со­те  OP тре­уголь­ни­ка CMO. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMO равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ACM:

Ответ:

а)  Обо­зна­чим ∠CBD  =  α. Тре­уголь­ник BMD рав­но­бед­рен­ный, по­это­му ∠DBM = ∠BDM = ∠CBD  =  α.

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ACB и BDA равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му ∠ACB = ∠ADB  =  α.

Пусть H  — точка пе­ре­се­че­ния BM и AC. Тогда BH  — вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны пря­мо­го угла. Зна­чит, ∠ABH = ∠ACB  =  α. Сле­до­ва­тель­но, ∠ABM = ∠DBM = ∠CBD  =  

б)  Имеем

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CMD на­хо­дим

Пусть O  — центр пря­мо­уголь­ни­ка ABCD. Рас­сто­я­ние от цен­тра O пря­мо­уголь­ни­ка ABCD до пря­мой CM равно вы­со­те OP тре­уголь­ни­ка CMO. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CMO равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ACM (MO  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ACM.).

Ответ: 3.