РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 15 № 514371 Добавить в вариант

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство $левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате меньше 11 логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 22 логарифм по основанию 2 x минус 24.$

Решение. Пусть $t= логарифм по основанию 2 x,$ тогда исходное неравенство примет вид:

$левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате минус 11 левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка плюс 24 меньше 0.$

Пусть теперь $z=t в квадрате минус 2t,$ тогда $z в квадрате минус 11z плюс 24 меньше 0,$ откуда

$левая круглая скобка z минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка z минус 8 правая круглая скобка меньше 0.$

Вернемся к переменной t, получим целое неравенство, решим его методом интервалов:

$левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений минус 2 меньше t меньше минус 1,3 меньше t меньше 4. конец совокупности .$ $левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений минус 2 меньше t меньше минус 1,3 меньше t меньше 4. конец совокупности .$

Вернемся к переменной х, получим простейшие логарифмические неравенства.

Для $минус 2 меньше t меньше минус 1$ получаем $минус 2 меньше логарифм по основанию 2 x меньше минус 1,$ откуда $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Для $3 меньше t меньше 4$ получаем $3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше 4,$ откуда $8 меньше x меньше 16.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;16 правая круглая скобка .$

Примечание.

Можно было бы явно решить неравенство относительно z, затем относительно t и х. Это способ показан при решении задачи 519643.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514371

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;16 правая круглая скобка .$

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

2.  Тип 15 № 519643 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство $левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс 36 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 45 меньше 18 логарифм по основанию 2 в квадрате x.$

Решение. Перенесем выражение из правой части в левую и сгруппируем:

$левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс 36 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 45 меньше 18 логарифм по основанию 2 в квадрате x равносильно левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате минус 18 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 45 меньше 0.$ $левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс 36 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 45 меньше 18 логарифм по основанию 2 в квадрате x равносильно$
$равносильно левая круглая скобка \log в квадрате _2x минус 2 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате минус 18 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 45 меньше 0.$

Пусть $t= логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x,$ тогда:

$t в квадрате минус 18t плюс 45 меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 15 правая круглая скобка меньше 0 равносильно 3 меньше t меньше 15.$

Вернемся к исходной переменной:

$система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше 3, логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x меньше 15 конец системы . равносильно система выражений логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 3 больше 0, логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию 2 x минус 15 меньше 0. конец системы .$

Пусть $y= логарифм по основанию 2 x,$ тогда:

$система выражений y в квадрате минус 2y минус 3 больше 0,y в квадрате минус 2y минус 15 меньше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений y меньше минус 1,y больше 3, конец системы . минус 3 меньше y меньше 5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 3 меньше y меньше минус 1,3 меньше y меньше 5. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$совокупность выражений минус 3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше минус 1,3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше 5 конец совокупности . \underset2 больше 1\mathop равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,8 меньше x меньше 32. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая круглая скобка .$

Примечание.

Из неравенства $левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 15 правая круглая скобка меньше 0$ можно было бы перейти к неравенству

$левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x минус 15 правая круглая скобка меньше 0,$

откуда имеем:

$левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка меньше 0.$

Изобразим решения полученного неравенство относительно логарифма:

Далее как ранее.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

519643

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая круглая скобка .$

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2018

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

3.  Тип 15 № 658836 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенство: $левая круглая скобка логарифм по основанию 3 в квадрате x минус 2 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате плюс 22 логарифм по основанию 3 x плюс 24 меньше 11 логарифм по основанию 3 в квадрате x.$

Решение. Пусть $t= логарифм по основанию 3 x,$ тогда неравенство примет вид:

$левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате минус 11 левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t правая круглая скобка плюс 24 меньше 0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0,$ $левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате минус 11 левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t правая круглая скобка плюс 24 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0,$ $левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате минус 11 левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t правая круглая скобка плюс 24 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2 t минус 8 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка меньше 0,$

откуда $минус 2 меньше t меньше минус 1;$ $3 меньше t меньше 4.$

При $минус 2 меньше t меньше минус 1$ получим: $минус 2 меньше логарифм по основанию 3 x меньше минус 1,$ откуда $дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ При $3 меньше t меньше 4$ получим: $3 меньше логарифм по основанию 3 x меньше 4,$ откуда $27 меньше x меньше 81.$ Решение исходного неравенства: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;$ $27 меньше x меньше 81.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 27; 81 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

658836

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 27; 81 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

4.  Тип 15 № 658886 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Разложение на множители

Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи

Решите неравенства $левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в квадрате x минус 4 логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в квадрате плюс 36 логарифм по основанию 2 x минус 36 меньше 9 логарифм по основанию 2 в квадрате x.$

Решение. Пусть $t = логарифм по основанию 2 x,$ тогда неравенство примет вид:

$левая круглая скобка t в квадрате минус 4 t правая круглая скобка в квадрате минус 9 левая круглая скобка t в квадрате минус 4t правая круглая скобка минус 36 меньше 0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 4 t минус 12 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 4 t плюс 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше 0,$ $левая круглая скобка t в квадрате минус 4 t правая круглая скобка в квадрате минус 9 левая круглая скобка t в квадрате минус 4t правая круглая скобка минус 36 меньше 0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 4 t минус 12 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 4 t плюс 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше 0,$ $левая круглая скобка t в квадрате минус 4 t правая круглая скобка в квадрате минус 9 левая круглая скобка t в квадрате минус 4t правая круглая скобка минус 36 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 4 t минус 12 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 4 t плюс 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка меньше 0,$

откуда $минус 2 меньше t меньше 1;$ $3 меньше t меньше 6.$

При $минус 2 меньше t меньше 1$ получим: $минус 2 меньше логарифм по основанию 2 x меньше 1,$ откуда $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше 2.$ При $3 меньше t меньше 6$ получим: $3 меньше логарифм по основанию 2 x меньше 6,$ откуда $8 меньше x меньше 64.$ Решение исходного неравенства: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби меньше x меньше 2;$ $8 меньше x меньше 64.$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; 2 правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 8; 64 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

658886

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; 2 правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 8; 64 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов, Разложение на множители

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514371	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;16 правая круглая скобка .$
2	519643	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 8;32 правая круглая скобка .$
3	658836	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 27; 81 правая круглая скобка .$
4	658886	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; 2 правая круглая скобка ;$ $левая круглая скобка 8; 64 правая круглая скобка .$