Ре­ше­ние. а)  При­ме­ром таких чисел яв­ля­ют­ся 5014, 5015, …, 5033. Очень счаст­ли­вы­ми среди них яв­ля­ют­ся числа 5014, 5023 и 5032.

б)  Пред­по­ло­жим, что это воз­мож­но. Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись мень­ше­го из этих двух очень счаст­ли­вых чисел, а   — де­ся­тич­ная за­пись боль­ше­го из них. Из усло­вия сле­ду­ет, что либо 10с + d + 16  =  10m + n, либо 10c + d + 16  =  100 + 10m + n. От­сю­да по­лу­ча­ем, что либо (m + n) − (c + d)  =  9(c – m + 1) + 7, либо (m + n) − (c + d)  =  9(c − m − 10) + 6. Зна­чит, число (m + n) − (c + d) даёт при де­ле­нии на 9 или оста­ток 7, или оста­ток 6.

Также из усло­вия сле­ду­ет, что либо 1000a + 100b + 2000  =  1000k + 100l, либо 1000a + 100b + 2100  =  1000k + 100l.

От­сю­да по­лу­ча­ем, что либо (k + l) − (a + b)  =  9(a − k + 2) + 2, либо (k + l) − (a + b)  =  9(a − k + 2) + 3. Зна­чит, число (k + l) − (a + b) даёт при де­ле­нии на 9 или оста­ток 2, или оста­ток 3. При­хо­дим к про­ти­во­ре­чию, по­сколь­ку по усло­вию (k + l) − (a + b)  =  (m + n) − (c + d).

в)  По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно 11. Для этого сна­ча­ла при­ведём при­ме­ры очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 2, 3, 5 и 7: число 2680 крат­но 2 и 5; число 1890 крат­но 3 и 7.

Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-⁠либо очень счаст­ли­во­го числа, крат­но­го 11. Тогда

По­лу­ча­ем, что число b − a + d − c крат­но 11. По­сколь­ку a , b, c и d  — цифры, от­сю­да сле­ду­ет, что либо b − a + d − c  =  0, либо b − a + d − c  =  11, либо b − a + d − c  =  −11.

В пер­вом слу­чае имеем a + b  =  c + d и a + c  =  b + d. Вы­чи­тая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем b − c  =  c − b, то есть b  =  c,  — про­ти­во­ре­чие. Во вто­ром слу­чае имеем a + b  =  c + d и a + c + 11  =  b + d. Вы­чи­тая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем b − c − 11  =  c − b, то есть 2(b − c)  =  11,  — тоже про­ти­во­ре­чие, по­сколь­ку 11 не крат­но 2. Ана­ло­гич­ное про­ти­во­ре­чие по­лу­ча­ет­ся и в тре­тьем слу­чае. Зна­чит, не су­ще­ству­ет очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 11.

Ответ: а)  да, на­при­мер 5014, 5015, …, 5033; б)  нет; в)  11.

Ре­ше­ние. а)  При­ме­ром таких чисел яв­ля­ют­ся

б)  Пред­по­ло­жим, что это воз­мож­но. Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись мень­ше­го из этих двух очень счаст­ли­вых чисел, а   — де­ся­тич­ная за­пись боль­ше­го из них. Из усло­вия сле­ду­ет, что либо либо От­сю­да по­лу­ча­ем, что либо Зна­чит, число даёт при де­ле­нии на 9 или оста­ток 7, или оста­ток 6.

Также из усло­вия сле­ду­ет, что либо либо От­сю­да по­лу­ча­ем, что либо либо Зна­чит, число даёт при де­ле­нии на 9 или оста­ток 2, или оста­ток 3. При­хо­дим к про­ти­во­ре­чию, так как по усло­вию

в)  По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно 11. Для этого сна­ча­ла при­ведём при­мер очень счаст­ли­во­го четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го Число 1890 крат­но 3, 5, 7 и 9.

Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-⁠либо очень счаст­ли­во­го числа, крат­но­го 11. Тогда

По­лу­ча­ем, что число крат­но 11. По­сколь­ку и d  — цифры, от­сю­да сле­ду­ет, что либо либо либо

В пер­вом слу­чае имеем и Вы­чи­тая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем: т. е.   — про­ти­во­ре­чие. Во вто­ром слу­чае имеем и Вы­чи­тая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем то есть   — тоже про­ти­во­ре­чие, по­сколь­ку 11 не крат­но 2. Ана­ло­гич­ное про­ти­во­ре­чие по­лу­ча­ет­ся и в тре­тьем слу­чае. Зна­чит, не су­ще­ству­ет очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 11.

Ответ: а)  да, на­при­мер б)  нет; в)  11.

Ре­ше­ние. а)  При­ме­ром таких чисел яв­ля­ют­ся Очень счаст­ли­вы­ми среди них яв­ля­ют­ся числа и

б)  Пред­по­ло­жим, что это воз­мож­но. Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись мень­ше­го из этих двух очень счаст­ли­вых чисел, а   — де­ся­тич­ная за­пись боль­ше­го из них. Из усло­вия сле­ду­ет, что либо либо От­сю­да по­лу­ча­ем, что либо Зна­чит, число даёт при де­ле­нии на 9 или оста­ток 8, или оста­ток 7.

Также из усло­вия сле­ду­ет, что либо либо От­сю­да по­лу­ча­ем, что либо даёт при де­ле­нии на 9 или оста­ток 2, или оста­ток 3. При­хо­дим к про­ти­во­ре­чию, так как по усло­вию

в)  По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно 11. Для этого сна­ча­ла при­ведём при­мер очень счаст­ли­во­го четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го Число 1890 крат­но

Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-либо очень счаст­ли­во­го числа, крат­но­го 11. Тогда

По­лу­ча­ем, что число крат­но 11. По­сколь­ку и d  — цифры, от­сю­да сле­ду­ет, что либо либо либо

В пер­вом слу­чае имеем и Вы­чи­тая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем: т. е.   — про­ти­во­ре­чие. Во вто­ром слу­чае имеем и Вы­чи­тая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем т. е.   — тоже про­ти­во­ре­чие, так как 11 не крат­но 2. Ана­ло­гич­ное про­ти­во­ре­чие по­лу­ча­ет­ся и в тре­тьем слу­чае. Зна­чит, не су­ще­ству­ет очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 11.

Ответ: а) Да, на­при­мер, б) нет; в) 11.

Ре­ше­ние. а)  При­ме­ром таких чисел яв­ля­ют­ся 3012, 3013, …, 3021. Пер­вое и по­след­нее из них яв­ля­ют­ся очень счаст­ли­вы­ми.

б)  Пред­по­ло­жим, что это воз­мож­но. Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись мень­ше­го из этих двух очень счаст­ли­вых чисел, а   — де­ся­тич­ная за­пись боль­ше­го из них. Из усло­вия сле­ду­ет, что либо либо От­сю­да по­лу­ча­ем, что либо либо Зна­чит, число даёт при де­ле­нии на 9 или оста­ток 6, или оста­ток 5.

Также из усло­вия сле­ду­ет, что либо либо От­сю­да по­лу­ча­ем, что либо либо Зна­чит, число даёт при де­ле­нии на 9 или оста­ток 2, или оста­ток 3.

При­хо­дим к про­ти­во­ре­чию, так как по усло­вию

в)  По­ка­жем, что ис­ко­мое число равно 11. Для этого сна­ча­ла при­ведём при­ме­ры очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10: число 2680 крат­но 1, 2, 4, 5, 8 и 10; число 1890 крат­но 3, 6, 7 и 9.

Пусть   — де­ся­тич­ная за­пись ка­ко­го-либо очень счаст­ли­во­го числа, крат­но­го 11. Тогда

По­лу­ча­ем, что число крат­но 11. По­сколь­ку a, b, c и d  — цифры, от­сю­да сле­ду­ет, что либо либо либо

В пер­вом слу­чае имеем и Вы­чи­тая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем т. е.   — про­ти­во­ре­чие. Во вто­ром слу­чае имеем и Вы­чи­тая эти ра­вен­ства, по­лу­ча­ем т. е.   — тоже про­ти­во­ре­чие, так как 11 не крат­но 2. Ана­ло­гич­ное про­ти­во­ре­чие по­лу­ча­ет­ся и в тре­тьем слу­чае. Зна­чит, не су­ще­ству­ет очень счаст­ли­вых четырёхзнач­ных чисел, крат­ных 11.

Ответ: а) Да, на­при­мер, 3012, 3013, …, 3021; б) нет; в) 11.