Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха» в серии ис­пы­та­ний Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью успе­ха p рав­ня­ет­ся Ис­ко­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся сум­мой слу­чай­ных ве­ли­чин «число вы­стре­лов до пер­во­го по­па­да­ния» и «число вы­стре­лов от пер­во­го до вто­ро­го по­па­да­ния». Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние каж­дой из этих двух слу­чай­ных ве­ли­чин равно то есть 20. Сле­до­ва­тель­но, в силу ли­ней­но­сти ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно 40.

Ответ: 40.

Более ин­ту­и­тив­ное объ­яс­не­ние: стре­лок по­па­да­ет в ми­шень в сред­нем один раз из 20 вы­стре­лов, сле­до­ва­тель­но, в сред­нем до по­яв­ле­ния пер­во­го по­па­да­ния по­тре­бу­ет­ся 20 вы­стре­лов, а после этого еще столь­ко же до вто­ро­го по­па­да­ния.

Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние слу­чай­ной ве­ли­чи­ны «число ис­пы­та­ний до пер­во­го успе­ха» в серии ис­пы­та­ний Бер­нул­ли с ве­ро­ят­но­стью успе­ха p рав­ня­ет­ся Ис­ко­мая слу­чай­ная ве­ли­чи­на яв­ля­ет­ся сум­мой пяти слу­чай­ных ве­ли­чин «число вы­стре­лов до пер­во­го по­па­да­ния», «число вы­стре­лов от пер­во­го до вто­ро­го по­па­да­ния», ..., «число вы­стре­лов от чет­вер­то­го до пя­то­го по­па­да­ния». Ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние каж­дой из этих двух слу­чай­ных ве­ли­чин равно то есть 5. Сле­до­ва­тель­но, в силу ли­ней­но­сти ис­ко­мое ма­те­ма­ти­че­ское ожи­да­ние равно 25.

Ответ: 25.

Более ин­ту­и­тив­ное объ­яс­не­ние: стре­лок по­па­да­ет в ми­шень в сред­нем один раз из 5 вы­стре­лов, сле­до­ва­тель­но, в сред­нем до по­яв­ле­ния пер­во­го по­па­да­ния по­тре­бу­ет­ся 5 вы­стре­лов, после этого еще столь­ко же для каж­дой сле­ду­ю­щей ми­ше­ни