Пусть a  — рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и R, a ≥ r + R. Если общая внут­рен­няя ка­са­тель­ная ка­са­ет­ся окруж­но­стей в точ­ках C и D, то

Дей­стви­тель­но, пусть O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и R со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Из точки O₂ опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр O₂F на пря­мую O₁C. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка O₁FO₂ на­хо­дим, что

Пусть x  — ра­ди­ус ис­ко­мой окруж­но­сти, O₃  — её центр. За­ме­тим, что пря­мая CD  — либо общая внеш­няя ка­са­тель­ная окруж­но­стей с цен­тра­ми O₃ и O₂ (см. рис.), либо общая внеш­няя ка­са­тель­ная окруж­но­стей с цен­тра­ми O₃ и O₁ (см. рис.). В пер­вом них этих слу­ча­ев ис­ко­мая окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мой CD в точке C, во вто­ром  — в точке D.

По до­ка­зан­но­му

В пер­вом слу­чае CD  — общая внеш­няя ка­са­тель­ная к окруж­но­сти с цен­тра­ми O₃ и O₂, по­это­му зна­чит, от­ку­да

Во вто­ром слу­чае CD  — общая внеш­няя ка­са­тель­ная к окруж­но­стям с цен­тра­ми O₃ и O₁, по­это­му от­ку­да

Ответ: или

За­ме­тим, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно сумме их ра­ди­у­сов. До­ка­жем сна­ча­ла сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние. Если a  — рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и общая внеш­няя ка­са­тель­ная ка­са­ет­ся окруж­но­стей в точ­ках A и B, то

Дей­стви­тель­но, пусть и   — цен­тры окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и R со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Из точек и опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры на пря­мую Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

Пусть x  — ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, C  — её точка ка­са­ния с пря­мой по до­ка­зан­но­му:

Если точка C лежит между A и B (см. рис.), то или Тогда от­ку­да Если точка C лежит на про­дол­же­нии от­рез­ка AB (см. рис.), то или Тогда от­ку­да

Ответ: или