PDF-версии: 
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Решение. Пусть 
тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:
Значит, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда график функции 
имеет с горизонтальными прямыми 
и 
ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если 
При 
уравнение не имеет решений. Если 
то при 
а если 
то при 
имеем:
При неограниченном увеличении x значения функции стремятся к нулю, причём, для 
функция f является возрастающей, а при 
— убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке.
Таким образом, при должны быть выполнены неравенства 
откуда 
при должны быть выполнены неравенства 
откуда 
Ответ: 
Приведём авторское решение.
Пусть тогда получим:
Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений 
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
При 
и и то есть при 
левая часть определена и принимает вид
При 
выражение 
принимает по одному все значения из промежутка 
для и принимает по одному разу все значения из промежутка 
для 
Значит, при выражение 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
при и принимает по одному разу все значения из промежутка 
при Таким образом, уравнение имеет одно решение при 
и не имеет решений при 
и 
При и 
уравнение принимает вид 
и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.
Уравнение 
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при При 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение.
При других значениях a исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения 
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при a принадлежащем множеству
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений   или  ; возможно, с включением граничных точек и/или исключением точки | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества а: или ИЛИ Получено хотя бы одно из уравнений | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
тогда получим:
или 
в зависимости от a и 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
При 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение.
и 
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:
или 
тогда уравнение запишется в виде
или 
в зависимости от a и 
принимает по одному разу все значения из промежутка 
и 
могут иметь общие решения при 
то есть при 
При 
оба уравнения принимают вид 
и имеют одно решение.
или 
; возможно, с включением граничных точек и/или исключением точки 
тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:
имеет с горизонтальными прямыми 
и 
ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если 
откуда 
при 
откуда 
