PDF-версии: 
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.
Решение. а) В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр (вписанные прямые углы опираются на диаметр). Вписанные углы AC1B1 и AHB1 опираются на одну дугу, следовательно, ∠AHB1 = ∠AC1B1.
Углы BC1C и BB1C — прямые, значит, точки B, C, B1 и C1 лежат на окружности с диаметром BC. Следовательно,
Получаем, что ∠ACB = ∠AHB1.
б) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности AH = 4, откуда
В прямоугольном треугольнике BB1A имеем:
В прямоугольном треугольнике CC1A имеем:
Получаем, что 
Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и 
следовательно, они подобны. Тогда 
Значит,
Ответ: 
Приведем решение пункта б) Тофига Алиева.
В четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Эта окружность описана также вокруг треугольника C1AB1, тогда по теореме синусов 
откуда 
Как доказано в основном решении, треугольники C1AB1 и ABC подобны с коэффициентом подобия cos ∠A, тогда
Приведем решение пункта б) Юлии Ерохиной.
6) В треугольнике AB1C1 диаметр описанной окружности AH = 4, откуда
По доказанному в пункте а) четырехугольник B1C1BC вписан в окружность с диаметром BC. В эту же окружность вписан треугольник B1C1B, тогда по теореме синусов
Найдем угол C1BB1 из прямоугольного треугольника ABB1:
тогда:
Примечание Дмитрия Гущина.
Укажем другое решение.
а) Поскольку AA1 — перпендикуляр к ВС, а BB1 — перпендикуляр к AС (см. рис.), углы AHB1 и ACB равны как острые углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
б) Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: 
откуда 
Примечание.
Полезно будет сравнить эту задачу с заданием 519475 из экзаменационного варианта ЕГЭ 2014 года, заданием 519475 из ЕГЭ−2018, заданием 526342 из ЕГЭ−2019, заданием 656585 из ЕГЭ−2024.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
и 
остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке 
и 
углы 
и 
— прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы 
и 
опираются на одну дугу, следовательно, 
и 
— прямые, значит, точки 
и 
Следовательно,
диаметр описанной окружности 
откуда 
имеем:
имеем:
и ∠BAC = 60°.
откуда 
откуда 
Значит,
и 
откуда 
Так как из пункта а) известно, что углы BCB1, ACB и AHB1 равны, имеем:
откуда
Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и 
следовательно, они подобны. Тогда 
