РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

1.  Тип 18 № 503256 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Восток;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013.

Классификатор алгебры: Расположение корней квадратного трехчлена

Методы алгебры: Введение замены

Задача с параметром. Расположение корней квадратного трехчлена

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$левая круглая скобка 4 косинус x минус 3 минус a правая круглая скобка умножить на косинус x минус 2,5 косинус 2x плюс 1,5 = 0$

имеет хотя бы один корень.

Решение. Запишем исходное уравнение в виде

$косинус в квадрате x плюс левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка косинус x минус 4=0.$

Пусть t  =  cosx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение $t в квадрате плюс левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка t минус 4=0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате плюс левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка t минус 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус 4.$

Cледовательно, уравнение $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо при условии $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0$ (рис. 1) $1 минус левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка минус 4 больше или равно 0,$ откуда $a меньше или равно минус 6,$ либо при условии $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка больше или равно 0$ (рис. 2) $1 плюс левая круглая скобка 3 плюс a правая круглая скобка минус 4 больше или равно 0,$ откуда $a больше или равно 0.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 6 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

503256

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 6 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источники:

ЕГЭ по математике 23.04.2013. Досрочная волна. Восток;

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013.

Классификатор алгебры: Расположение корней квадратного трехчлена

Методы алгебры: Введение замены

2.  Тип 18 № 657298 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Расположение корней квадратного трехчлена

Методы алгебры: Введение замены

Задача с параметром. Расположение корней квадратного трехчлена

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$5 косинус 2x плюс 1 = 2 левая круглая скобка 3 минус 4 синус x минус a правая круглая скобка синус x$

имеет хотя бы один корень.

Решение. Применим формулу косинуса двойного угла, запишем исходное уравнение в виде

$синус в квадрате x плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка синус x минус 3=0.$

Положим t  =  sinx, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение $t в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка t минус 3=0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1]. Графиком функции $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка t минус 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус 3.$

Cледовательно, уравнение $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =0$ имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [−1; 1], либо (рис. 1) при условии $f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0,$ то есть если $1 минус левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка минус 3 больше или равно 0,$ откуда $a больше или равно 5,$ либо (рис. 2) при условии $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка больше или равно 0,$ то есть если $1 плюс левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка минус 3 больше или равно 0,$ откуда $a меньше или равно 1.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

657298

$левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Расположение корней квадратного трехчлена

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	503256	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 6 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
2	657298	$левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$