Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми AC  =  b, BC  =  a и ги­по­те­ну­зой AB  =  c. Пусть окруж­ность с цен­тром O_c ра­ди­у­са r_c ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы в точке T, про­дол­же­ний ка­те­тов BC и AC − в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но, а p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC. Из ра­вен­ства от­рез­ков ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, сле­ду­ет, что CM  =  CB + BM  =  CB + BT и CN  =  CA + AN  =  CA + AT, по­это­му

а так как CM  =  CN, то CM  =  p. Далее, пусть окруж­ность с цен­тром O_a ра­ди­у­са r_a ка­са­ет­ся ка­те­та BC в точке K, а про­дол­же­ний сто­рон AB и AC  — в точка P и Q со­от­вет­ствен­но. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­ча­ем AQ  =  AP  =  p. Че­ты­рех­уголь­ни­ки NO_cMC и KO_aQC  — квад­ра­ты, по­это­му

зна­чит, r_a < r_c.

Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся ги­по­те­ну­зы дан­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, не может быть равен 7.

Таким об­ра­зом, воз­мож­ны толь­ко такие слу­чаи: Либо ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся ги­по­те­ну­зы, равен 17, а ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся од­но­го из ка­те­тов, равен 7, либо ра­ди­у­сы окруж­но­стей, ка­са­ю­щих­ся ка­те­тов, равны 7 и 17.

Пред­по­ло­жим, что r_c  =  17 и r_a  =  7 (рис. 1).

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр O_aF из цен­тра мень­шей окруж­но­сти на O_cN. Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

Пусть те­перь r_b  =  17 и r_a  =  7. (рис 2)

Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла, по­это­му точки O_a,C и O_b лежат на оной пря­мой. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 26 или

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми и ги­по­те­ну­зой Пусть окруж­ность с цен­тром O_c ра­ди­у­са r_c ка­са­ет­ся ги­по­те­ну­зы в точке T, про­дол­же­ний ка­те­тов BC и AC − в точ­ках M и со­от­вет­ствен­но, а p − по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка Из ра­вен­ства от­рез­ков ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, сле­ду­ет, что и по­это­му

а так как то Далее, пусть окруж­ность с цен­тром O_a ра­ди­у­са r_a ка­са­ет­ся ка­те­та BC в точке K, а про­дол­же­ний сто­рон AB и AC − в точка P и Q со­от­вет­ствен­но. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­ча­ем Че­ты­рех­уголь­ни­ки и KO_aQC − квад­ра­ты, по­это­му

зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но, ра­ди­ус внев­пи­сан­ной окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся ги­по­те­ну­зы дан­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, не может быть равен 1.

Таким об­ра­зом, воз­мож­ны толь­ко такие слу­чаи: Либо ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся ги­по­те­ну­зы, равен 7, а ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся од­но­го из ка­те­тов, равен 1, либо ра­ди­у­сы окруж­но­стей, ка­са­ю­щих­ся ка­те­тов, равны 1 и 7.

Пред­по­ло­жим, что и (рис. 1).

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр O_aF из цен­тра мень­шей окруж­но­сти на Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

Пусть те­перь и (рис 2)

Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на бис­сек­три­се угла, по­это­му точки и O_b лежат на оной пря­мой. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: или