ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д14 C4 № 500920 Добавить в вариант

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в четырехугольник

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и треугольники

Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС = 11. Найдите сторону АВ.

Решение.

Обозначим AB  =  x, AC  =  y, пусть p  — полупериметр треугольника ABC. Пусть M и N  — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда $MN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC= дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби .$

В трапеции BMNC вписана окружность, поэтому

$BM плюс CN=BC плюс MN=11 плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 33, знаменатель: 2 конец дроби ,$

значит,

$x плюс y=AB плюс AC=2BM плюс 2CN=2 левая круглая скобка BM плюс CN правая круглая скобка =2 левая круглая скобка BC плюс MN правая круглая скобка =2 умножить на дробь: числитель: 33, знаменатель: 2 конец дроби =33.$ $x плюс y=AB плюс AC=2BM плюс 2CN=$
$=2 левая круглая скобка BM плюс CN правая круглая скобка =2 левая круглая скобка BC плюс MN правая круглая скобка =2 умножить на дробь: числитель: 33, знаменатель: 2 конец дроби =33.$

$p= дробь: числитель: AB плюс AC плюс BC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: x плюс y плюс 11, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 33 плюс 11, знаменатель: 2 конец дроби =22.$

По формуле Герона:

$S_ABC= корень из: начало аргумента: p левая круглая скобка p минус AB правая круглая скобка левая круглая скобка p минус AC правая круглая скобка левая круглая скобка p минус BC правая круглая скобка конец аргумента }= корень из: начало аргумента: 22 левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус y правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус 11 правая круглая скобка конец аргумента =11 корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус y правая круглая скобка конец аргумента =66;$ $S_ABC=$
$= корень из: начало аргумента: p левая круглая скобка p минус AB правая круглая скобка левая круглая скобка p минус AC правая круглая скобка левая круглая скобка p минус BC правая круглая скобка конец аргумента }= корень из: начало аргумента: 22 левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус y правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус 11 правая круглая скобка конец аргумента =11 корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус y правая круглая скобка конец аргумента =66;$

$корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус y правая круглая скобка конец аргумента =6; левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус y правая круглая скобка =18; левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус 33 плюс x правая круглая скобка =18; x в квадрате минус 33x плюс 260=0.$ $корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус y правая круглая скобка конец аргумента =6; левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус y правая круглая скобка =$
$=18; левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус 33 плюс x правая круглая скобка =18; x в квадрате минус 33x плюс 260=0.$ $корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус y правая круглая скобка конец аргумента =6; левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус y правая круглая скобка =$
$=18; левая круглая скобка 22 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 22 минус 33 плюс x правая круглая скобка =$
$=18; x в квадрате минус 33x плюс 260=0.$

Отсюда находим, что $x=13$ или $20.$

Ответ: 13 или 20.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получен правильный ответ	3
Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получено одно правильное значение искомой величины	2
Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получены одно или оба значения искомой величины, неправильные из-за арифметической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 13 или 20.

Аналоги к заданию № 500920: 507598 511448 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д14 C4 № 507598 Добавить в вариант

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в треугольник, Окружность, вписанная в четырехугольник

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и треугольники

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 114, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 19. Найдите сторону AB.

Решение.

Обозначим AB = x, AC = y, p  — полупериметр треугольника ABC. Пусть M и N  — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда $MN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC= дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби .$

В трапецию BMNC вписана окружность поэтому

$BM плюс CN=BC плюс MN=19 плюс дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 57, знаменатель: 2 конец дроби .$

Значит,

$x плюс y=AB плюс AC=2BM плюс 2CN=2 левая круглая скобка BM плюс CN правая круглая скобка =$
$=2 левая круглая скобка BC плюс MN правая круглая скобка =2 умножить на дробь: числитель: 57, знаменатель: 2 конец дроби =57,y=57 минус x.$ $x плюс y=AB плюс AC=2BM плюс 2CN=$
$=2 левая круглая скобка BM плюс CN правая круглая скобка =2 левая круглая скобка BC плюс MN правая круглая скобка =$
$=2 умножить на дробь: числитель: 57, знаменатель: 2 конец дроби =57,y=57 минус x.$

$p= дробь: числитель: AB плюс AC плюс BC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: x плюс левая круглая скобка 57 минус x правая круглая скобка плюс 19, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 57 плюс 19, знаменатель: 2 конец дроби =38.$

По формуле Герона

$равносильно корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка 38 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 19 правая круглая скобка конец аргумента =6 равносильно левая круглая скобка 38 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 19 правая круглая скобка =18 равносильно x в квадрате минус 57x плюс 740=0$ $равносильно корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка 38 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 19 правая круглая скобка конец аргумента =6 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 38 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 19 правая круглая скобка =18 равносильно x в квадрате минус 57x плюс 740=0$

Отсюда находим, что x = 20 или x = 37.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Верноо рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получены одно или оба значения искомой величины неправильные из-за арифметической ошибки	1
Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получено одно правильное значение искомой величины	2
Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получен правильный ответ.	3
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 500920: 507598 511448 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Тип Д14 C4 № 511448 Добавить в вариант

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружность, вписанная в четырехугольник

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и треугольники

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 8, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 8. Найдите сторону AB.

Решение.

Обозначим AB = x, AC = y, p  — полупериметр треугольника ABC. Пусть M и N  — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда $MN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC=4.$

В трапецию BMNC вписана окружность поэтому

$BM плюс CN=BC плюс MN=8 плюс 4=12.$

Значит,

$x плюс y=AB плюс AC=2BM плюс 2CN=2 левая круглая скобка BM плюс CN правая круглая скобка =2 левая круглая скобка BC плюс MN правая круглая скобка =24,y=24 минус x.$ $x плюс y=AB плюс AC=2BM плюс 2CN=2 левая круглая скобка BM плюс CN правая круглая скобка =$
$=2 левая круглая скобка BC плюс MN правая круглая скобка =24,y=24 минус x.$ $x плюс y=AB плюс AC=$
$=2BM плюс 2CN=2 левая круглая скобка BM плюс CN правая круглая скобка =$
$=2 левая круглая скобка BC плюс MN правая круглая скобка =24,y=24 минус x.$

$p= дробь: числитель: AB плюс AC плюс BC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: x плюс левая круглая скобка 24 минус x правая круглая скобка плюс 8, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 24 плюс 8, знаменатель: 2 конец дроби =16.$

По формуле Герона

$равносильно корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка 16 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка конец аргумента =1 равносильно 2 левая круглая скобка 16 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка =1 равносильно 2x в квадрате минус 48x плюс 257=0$ $равносильно корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка 16 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка конец аргумента =1 равносильно$
$равносильно 2 левая круглая скобка 16 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка =1 равносильно 2x в квадрате минус 48x плюс 257=0$

Отсюда находим, что $x = 12 плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 62 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ или $x = 12 минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 62 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $12 минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 62 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,12 плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 62 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Верноо рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получены одно или оба значения искомой величины неправильные из-за арифметической ошибки	1
Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получено одно правильное значение искомой величины	2
Верно рассмотрена геометрическая конфигурация, и обоснованно получен правильный ответ.	3
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 500920: 507598 511448 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе