PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет более двух корней.
Решение. Запишем уравнение в виде
рассмотрим функцию 
Раскрывая модуль, получаем:
При 
функция 
убывает, принимая все значения из промежутка 
Чтобы изучить поведение функции при положительных значениях переменной, найдем производную:
Производная обращается в нуль в точке 
меняя знак с плюса на минус. Следовательно, эта точка является точкой максимума, причем 
Построим эскиз графика функции (см. рис.). Из графика заключаем, что уравнение имеет три корня при 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Определим, для каких значений a графики функции 
и 
имеют более двух общих точек на луче 
При a < 1 уравнение не имеет решений. При a = 1 уравнение имеет единственный корень x = 0. При 
уравнение имеет два решения. Пусть m — значение a, которому соответствует точка касания графика функции 
и графика функции 
Тогда при 
уравнение имеет три решения, при 
уравнение имеет два решения, при 
уравнение имеет единственное решение. Найдем m из условия касания:
Получаем:
Таким образом, уравнение имеет больше двух решений при 
Ответ: 
Приведём ещё одно решение.
Рассмотрим функции 
и 
Исследуем уравнение 
На промежутке 
функция 
возрастает. Функция 
убывает на этом промежутке, поэтому уравнение 
имеет не более одного решения на промежутке 
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
то есть при 
При 
уравнение принимает вид 
При 
левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При 
это уравнение сводится к квадратному уравнению 
дискриминант которого 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
— уравнение имеет единственный корень, равный 
при 
— уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня:
и 
Меньший корень 
а больший корень 
не превосходит 
если 
то есть при 
По теореме Виета 
поэтому знаки корней 
и 
зависят от знаков выражений 
и 
Значит, при 
оба корня отрицательны, при 
один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при 
оба корня неотрицательны. Следовательно, при уравнение 
не имеет корней при 
и 
имеет один корень при 
и 
имеет два корня при
Таким образом, заключаем, что уравнение 
— не имеет корней при 
— имеет один корень при 
и 
— имеет два корня при 
и 
— имеет три корня при
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
и 
При 
левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При 
это уравнение сводится к квадратному уравнению 
дискриминант которого 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней, при 
— уравнение имеет единственный корень, равный 
при 
— уравнение имеет два корня.
и 
а больший корень 
не превосходит 
если 
поэтому знаки корней 
и 
Значит, при 
имеет один корень при 
и 
имеет два корня при 
и 
имеет более двух корней.
и 
функция 
причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, 
При 
левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При 
это уравнение сводится к квадратному уравнению 
дискриминант которого 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней; при 
при 
уравнение имеет два корня.
и 
всегда меньше 
а больший корень 
и 
Значит, при 
не имеет корней при 
имеет один корень при 
и 
имеет два корня при 
и