Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB  =  AC  =  26, BC  =  20. Пусть AH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда H  — се­ре­ди­на BC.

Обо­зна­чим ∠ABC = ∠ACB  =  α. Тогда

Пред­по­ло­жим, что окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром O₁ впи­са­на в угол ACB и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния BC в точке N, а окруж­ность того же ра­ди­у­са с цен­тром O₂ впи­са­на в угол ABC, ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния BC в точке M, а пер­вой окруж­но­сти  — в точке D. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BMO₂ на­хо­дим:

Тогда Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му O₁O₂  =  2r, зна­чит, MN  =  O₁O₂  =  2r, по­сколь­ку O₁O₂MN  — пря­мо­уголь­ник. Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да на­хо­дим r  =  4.

Пусть те­перь окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром O₁ впи­са­на в угол BAC и ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB в точке P, вто­рая окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром O₂ впи­са­на в угол ABC, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB в точке Q, а также ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти.

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков APO₁ и BQO₂ на­хо­дим:

Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да на­хо­дим

В слу­чае, когда окруж­но­сти впи­са­ны в углы BAC и ACB, по­лу­чим тот же ре­зуль­тат.

Ответ: 4 или

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB  =  AC  =  115, BC  =  184. Пусть AH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда H  — се­ре­ди­на BC.

Обо­зна­чим ∠ABC = ∠ACB  =  α. Тогда

Пред­по­ло­жим, что окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром O₁ впи­са­на в угол ACB и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния BC в точке N, а окруж­ность того же ра­ди­у­са с цен­тром O₂, впи­са­на в угол ABC, ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния BC в точке M, а пер­вой окруж­но­сти  — в точке D. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BMO₂ на­хо­дим:

Тогда CN  =  BM  =  3r.

Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му O₁O₂  =  2r, зна­чит, MN  =  O₁O₂  =  2r, по­сколь­ку O₁O₂MN  — пря­мо­уголь­ник. Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да на­хо­дим r  =  23.

Пусть те­перь окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром O₁ впи­са­на в угол BAC и ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB в точке P, вто­рая окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром O₂ впи­са­на в угол ABC, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB в точке Q, а также ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти.

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков APO₁ и BQO₂ на­хо­дим:

Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да на­хо­дим r  =  20.

В слу­чае, когда окруж­но­сти впи­са­ны в углы BAC и ACB, по­лу­чим тот же ре­зуль­тат.

Ответ: 23 или 20.

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром AB = AC = 13, BC = 10. Пусть AH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда H  — се­ре­ди­на BC.

Обо­зна­чим Тогда

Воз­мож­ны два слу­чая.

Пер­вый слу­чай. Пред­по­ло­жим, что окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром впи­са­на в угол ACB и ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния BC в точке N, а окруж­ность того же ра­ди­у­са с цен­тром впи­са­на в угол ABC, ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния BC в точке M, а пер­вой окруж­но­сти  — в точке D. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, по­это­му

а

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим:

Тогда

Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му зна­чит, по­сколь­ку   — пря­мо­уголь­ник. Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да на­хо­дим

Вто­рой слу­чай. Пусть те­перь окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром впи­са­на в угол BAC и ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB в точке P, вто­рая окруж­ность ра­ди­у­са r с цен­тром впи­са­на в угол ABC, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны AB в точке Q, а также ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти.

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и на­хо­дим:

Сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да на­хо­дим

В слу­чае, когда окруж­но­сти впи­са­ны в углы BAC и ACB, по­лу­чим тот же ре­зуль­тат.

Ответ: 2 или