РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

При каких значениях параметра а система $система выражений новая строка корень из: начало аргумента: |y плюс 3| конец аргумента =1 минус корень из: начало аргумента: 5|x| конец аргумента , новая строка 16a минус 9 минус 6y=25x в квадрате плюс y в квадрате конец системы .$ имеет четыре решения?

Решение. Полагая $u= корень из: начало аргумента: 5|x| конец аргумента ,$ $v = корень из: начало аргумента: |y плюс 3| конец аргумента ,$ перепишем исходную систему в виде

$система выражений новая строка u плюс v =1, новая строка u в степени 4 плюс v в степени 4 =16a. конец системы .$

Заметим, что если хотя бы одна из переменных $u, v$ отрицательна, то исходная система не имеет решений. Значению $u = 0$ соответствует $x=0,$ а значению $v =0$ соответствует $y= минус 3,$ а каждой паре положительных значений $левая круглая скобка u, v правая круглая скобка$ соответствует по два значения исходных переменных $x, y$ соответственно, то есть каждому такому решению соответствуют четыре решения исходной системы.

Заметим далее, что если пара $левая круглая скобка u_0, v _0 правая круглая скобка$ является решением системы, то и пара $левая круглая скобка v _0, u_0 правая круглая скобка$   — также решение этой системы, то есть исходная система получает восемь решений если $u\not= v .$ Таким образом, исходная система имеет четыре решения $левая круглая скобка x, y правая круглая скобка$ тогда и только тогда, когда полученная система имеет следующие решения: $левая фигурная скобка левая круглая скобка u_1, u_1 правая круглая скобка правая фигурная скобка ,$ или $левая фигурная скобка левая круглая скобка u_2, 0 правая круглая скобка , левая круглая скобка левая круглая скобка 0, v _2 правая круглая скобка правая круглая скобка правая фигурная скобка ,$ где $u_ 1, 2 больше 0$ и $v _ 2 больше 0.$

Рассмотрим три случая.

1.  Если $u= v ,$ то из первого уравнения $u= v = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ из второго уравнения $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 128 конец дроби .$ При найденном значении параметра система принимает вид

$система выражений новая строка u плюс v =1, новая строка u в степени 4 плюс v в степени 4 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби . конец системы .$

Осталось убедиться, что данная система не имеет других решений, кроме $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ Из первого уравнения $v =1 минус u,$ подставим во второе:

$8u в степени 4 плюс 8 левая круглая скобка 1 минус u правая круглая скобка в степени 4 =1 равносильно 16u в степени 4 минус 32u в кубе плюс 48u в квадрате минус 32u плюс 7=0 равносильно$
$равносильно 16u в степени 4 минус 8u в кубе минус 24u в кубе плюс 12u в квадрате плюс 36u в квадрате минус 18u минус 14u плюс 7=0 равносильно$ $8u в степени 4 плюс 8 левая круглая скобка 1 минус u правая круглая скобка в степени 4 =1 равносильно$
$равносильно 16u в степени 4 минус 32u в кубе плюс 48u в квадрате минус 32u плюс 7=0 равносильно$
$равносильно 16u в степени 4 минус 8u в кубе минус 24u в кубе плюс 12u в квадрате плюс 36u в квадрате минус 18u минус 14u плюс 7=0 равносильно$ $равносильно 8u в кубе левая круглая скобка 2u минус 1 правая круглая скобка минус 12u в квадрате левая круглая скобка 2u минус 1 правая круглая скобка плюс 18u левая круглая скобка 2u минус 1 правая круглая скобка минус 7 левая круглая скобка 2u минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка 2u минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8u в кубе минус 12u в квадрате плюс 18u минус 7 правая круглая скобка =0 равносильно$ $равносильно левая круглая скобка 2u минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8u в кубе минус 1 минус 6 левая круглая скобка 2u в квадрате минус 3u плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2u минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 4u в квадрате плюс 2u плюс 1 правая круглая скобка минус 6 левая круглая скобка u минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка 2u минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 4u в квадрате минус 4u плюс 7 правая круглая скобка =0.$ $равносильно левая круглая скобка 2u минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8u в кубе минус 1 минус 6 левая круглая скобка 2u в квадрате минус 3u плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2u минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 4u в квадрате плюс 2u плюс 1 правая круглая скобка минус 6 левая круглая скобка u минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2u минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 4u в квадрате минус 4u плюс 7 правая круглая скобка =0.$

Последнее уравнение имеет единственный корень $u= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Это доказывает, что других решений система не имеет.

2.  Если $u=0,$ а $v =1,$ то $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби .$ При этом значении параметра система принимает вид

$система выражений новая строка u плюс v =1, новая строка u в степени 4 плюс v в степени 4 =1. конец системы .$

Проверим, имеет ли данная система решения, отличные от $левая круглая скобка 0, 1 правая круглая скобка .$ Из первого уравнения снова $v =1 минус u,$ подставим во второе:

$u в степени 4 плюс левая круглая скобка 1 минус u правая круглая скобка в степени 4 =1 равносильно 2u в степени 4 минус 4u в кубе плюс 6u в квадрате минус 4u=0 равносильно u левая круглая скобка u в кубе минус 2u в квадрате плюс 3u минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно$ $u в степени 4 плюс левая круглая скобка 1 минус u правая круглая скобка в степени 4 =1 равносильно 2u в степени 4 минус 4u в кубе плюс 6u в квадрате минус 4u=0 равносильно$
$равносильно u левая круглая скобка u в кубе минус 2u в квадрате плюс 3u минус 2 правая круглая скобка =0 равносильно$

$u левая круглая скобка левая круглая скобка u в кубе минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2u в квадрате минус 3u плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно u левая круглая скобка u минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка u в квадрате минус u плюс 2 правая круглая скобка =0.$

Последнее уравнение имеет два корня $u=0$ и $u=1.$ Первый из них соответствует рассматриваемому случаю и двум решениям исходной системы, а второй оставшемуся случаю $v =0$ и еще двум.

3.  Если $v =0,$ а $u=1,$ то $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби .$ Как было показано выше, данное значение параметра является искомым.

Ответ: $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 128 конец дроби ,a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби .$

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

При каких значениях параметра а система $система выражений новая строка корень из: начало аргумента: |y плюс 3| конец аргумента =1 минус корень из: начало аргумента: 5|x| конец аргумента , новая строка минус 4a минус 9 минус 6y=25x в квадрате плюс y в квадрате конец системы .$ имеет четыре решения?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	484635	$a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 128 конец дроби ,a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби .$
2	511310	$a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби ,a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ключ