Пусть окруж­ность S с цен­тром O и ра­ди­у­сом R пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны дан­но­го пря­мо­го угла в точ­ках A и B, AC  =  8, BC  =  6, ис­ко­мая окруж­ность с цен­тром Q ка­са­ет­ся сто­рон и BC угла ACB в точ­ках N и K со­от­вет­ствен­но, а окруж­но­сти S  — в точке M.

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му O  — се­ре­ди­на его ги­по­те­ну­зы AB.

Линия цен­тров двух ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му точки M, O и Q лежат на одной пря­мой. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH из цен­тра окруж­но­сти S на пря­мую BC. Тогда OH  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC по­это­му и а так как центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, то ∠QCK  =  45°, по­это­му CK  =  QK  =  r.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр QF из цен­тра ис­ко­мой окруж­но­сти на пря­мую OH. Тогда

Пред­по­ло­жим, что ис­ко­мая окруж­ность и окруж­ность ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом. Тогда

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник OFQ. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра OQ²  =  OF² + QF² или

Если же ис­ко­мая окруж­ность ка­са­ет­ся дан­ной внеш­ним об­ра­зом, то

Тогда из со­от­вет­ству­ю­ще­го урав­не­ния (5 + r)²  =  (4 − r)² + (r − 3)² на­хо­дим, что r  = 24.

Ответ: 4 или 24.

Пусть окруж­ность S с цен­тром O и ра­ди­у­сом R пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны дан­но­го пря­мо­го угла в точ­ках A и B, ис­ко­мая окруж­ность с цен­тром Q ка­са­ет­ся сто­рон и BC угла ACB в точ­ках N и K со­от­вет­ствен­но, а окруж­но­сти S  — в точке

Точка O  — центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му O  — се­ре­ди­на его ги­по­те­ну­зы Тогда

Линия цен­тров двух ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му точки M, O и Q лежат на одной пря­мой. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH из цен­тра окруж­но­сти S на пря­мую Тогда OH  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC по­это­му и а так как центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол, лежит на его бис­сек­три­се, то по­это­му

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр QF из цен­тра ис­ко­мой окруж­но­сти на пря­мую Тогда

Пред­по­ло­жим, что ис­ко­мая окруж­ность и окруж­ность ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом. Тогда

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра или

Если же ис­ко­мая окруж­ность ка­са­ет­ся дан­ной внеш­ним об­ра­зом, то

Тогда из со­от­вет­ству­ю­ще­го урав­не­ния на­хо­дим, что

Ответ: 8 или 48.