PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1
а) Докажите, что плоскость BA1C1 и прямая 
перпендикулярны.
б) Найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D1.
Решение. а) Заметим, что проекция прямой
на плоскость 
это прямая 
Проекция прямой на плоскость 
это прямая 
и 
как диагонали квадрата. Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах 
и 
Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
б) Пусть точка O — центр куба, а M — середина 
а MO — средняя линия треугольника 
поэтому 
Треугольник 
— равносторонний, 
следовательно, искомый угол равен углу 
Примем длины ребер куба за 
Найдем стороны треугольника Из треугольника находим 
из равностороннего треугольника находим
Поскольку O — середина диагонали 
то 
Теперь применим к треугольнику 
теорему косинусов:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
и 
перпендикулярны.
диагонали перпендикулярны, поэтому 
Кроме того, 
так как BC перпендикулярна плоскости 
Отсюда получаем, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
А тогда, по признаку перпендикулярности плоскостей, получаем требуемое (ведь плоскость 
Примем длины ребер куба за 
Опустим перпендикуляры 
и CK на сторону 
равносторонние, поэтому перпендикуляры 
— искомый. Из прямоугольного треугольника 
перпендикулярна прямой 
на плоскости 
и 
Получатся прямые 
и 
Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, 
и 
Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
Что и требовалось доказать.