Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что левая часть  — пол­ный квад­рат:

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние даль­ше:

б)  При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Вспом­ним, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где R  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния, H  — вы­со­та ци­лин­дра. В дан­ном слу­чае по­это­му от­ку­да и сле­ду­ет тре­бу­е­мое.

б)  Се­че­ние ци­лин­дра плос­ко­стью, про­хо­дя­щей па­рал­лель­но его оси OO₁,  — пря­мо­уголь­ник ABB₁A₁ (O и AB  — со­от­вет­ствен­но центр и хорда ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра), AA₁  =  5. Рас­сто­я­ние от оси ци­лин­дра до плос­ко­сти се­че­ния равно вы­со­те OH тре­уголь­ни­ка OAB. OA  =  OB  =  10, OH  =  6, от­ку­да

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABB₁A₁

Ответ: 80.

Ре­ше­ние. 1.  Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Рас­смот­рим два слу­чая. Пер­вый слу­чай:

Вто­рой слу­чай:

2.  Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

3.  Пе­ре­се­кая по­лу­чен­ные ре­ше­ния, найдём мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы не­ра­венств:

Ответ:

Ре­ше­ние. Точки O₁, O₂ и A лежат на одной пря­мой. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки BO₁A и CO₂A рав­но­бед­рен­ные, ∠ABO₁ = ∠BAO₁ = ∠CAO₂ = ∠ACO₂  =  15°.

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом (ри­су­нок 1), тогда точка B лежит между точ­ка­ми A и C, а По­сколь­ку ∠ABO₁ = ∠ACO₂, пря­мые O₁B и O₂C па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый четырёхуголь­ник  — тра­пе­ция O₁BCO₂.

Пусть O₂H  — пер­пен­ди­ку­ляр, про­ведённый из точки O₂ к пря­мой O₁B. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке O₂O₁H имеем ∠O₂O₁H  =  30°, от­ку­да

Вто­рой слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом (ри­су­нок 2), тогда точка A лежит между точ­ка­ми B и C, а По­сколь­ку ∠ABO₁ = ∠ACO₂, пря­мые O₁B и CO₂ па­рал­лель­ны. сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый четырёхуголь­ник  — тра­пе­ция O₁BO₂C.

Пусть O₂H  — пер­пен­ди­ку­ляр, про­ведённый из точки O₂ к пря­мой O₁B. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке O₂O₁H имеем ∠O₂O₁H  =  30°, от­ку­да

Ответ: 4 или 16.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

По­след­нее урав­не­ние имеет более двух кор­ней или если a  =  −1, или если урав­не­ние имеет два раз­лич­ных корня, от­лич­ных от 3:

от­ку­да или

Ис­ход­ное урав­не­ние имеет более двух раз­лич­ных кор­ней при при a  =  −1, при и при

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим a  — пер­вый член про­грес­сии, n  — ко­ли­че­ство чле­нов, d  — её раз­ность. Числа a и n  — на­ту­раль­ные. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать про­грес­сию не­убы­ва­ю­щей, тогда число d  — на­ту­раль­ное либо равно нулю.

а)  Сумма пер­во­го и пя­то­го чле­нов этой про­грес­сии равна 2a + 4d и яв­ля­ет­ся чётным чис­лом, оно не может быть равно 99.

б)  Сумма пер­во­го и ше­сто­го чле­нов этой про­грес­сии равна 2a + 5d  =  9. Если то что не­воз­мож­но. Если d  — на­ту­раль­ное число, то воз­мо­жен един­ствен­ный слу­чай: d  =  1. Тогда a  =  2, и ис­ко­мые числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское про­грес­сии равно по­лу­сум­ме её край­них чле­нов, по­это­му Слу­чай не­воз­мо­жен, по­это­му Кроме того зна­чит, от­ку­да то есть

При­ве­дем при­мер, до­ка­зы­ва­ю­щий точ­ность оцен­ки. На­ту­раль­ные числа от 1 до 12 со­став­ля­ют про­грес­сию, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чле­нов ко­то­рой равно 6,5, а ко­ли­че­ство чле­нов равно 12.

Ответ: а)  нет; б)  2, 3, 4, 5, 6, 7; в)  12.