В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC с ос­но­ва­ни­ем AC внеш­ний угол при вер­ши­не C равен 18°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и ко­ор­ди­на­та­ми ко­то­рых яв­ля­ют­ся целые числа. Най­ди­те длину век­то­ра

Пло­щадь боль­шо­го круга шара равна 24. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Перед на­ча­лом фут­боль­но­го матча судья бро­са­ет мо­нет­ку, чтобы опре­де­лить, какая из ко­манд нач­нет игру с мячом. Ко­ман­да «Ин­те­грал» иг­ра­ет два матча с раз­ны­ми ко­ман­да­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в этих играх ко­ман­да «Ин­те­грал» ни разу не начнёт игру с мячом.

В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,2. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,16. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции   — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (–⁠3; 6). Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции f(x).

Ав­то­мо­биль раз­го­ня­ет­ся на пря­мо­ли­ней­ном участ­ке шоссе с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a км/ч². Ско­рость υ (в км/ч) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где l  — прой­ден­ный ав­то­мо­би­лем путь (в км). Най­ди­те, с каким по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем дви­гал­ся ав­то­мо­биль, если он до­стиг ско­ро­сти 80 км/ч, про­ехав 0,2 км.

Катя и Настя, ра­бо­тая вме­сте, про­па­лы­ва­ют гряд­ку за 15 минут, а одна Настя  — за 40 минут. За сколь­ко минут про­па­лы­ва­ет эту гряд­ку одна Катя?

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции вида Най­ди­те зна­че­ние

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мой тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ в ос­но­ва­нии лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с пря­мым углом B и с ка­те­та­ми, рав­ны­ми 10. Бо­ко­вые рёбра приз­мы равны 10. На рёбрах AA₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  3, CN  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MNB₁ раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б)  Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года Ни­ко­лай пла­ни­ру­ет от­крыть на­ко­пи­тель­ный счет на три года. Усло­вия по этому счету та­ко­вы:

—  1 июля 2026 года Ни­ко­лай по­ме­ща­ет на счет не­ко­то­рую сумму денег;

—  30 июня каж­до­го года сумма на счете уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с сум­мой, на­хо­дя­щей­ся на счете 29 июня;

—  1 июля 2027, 2028 и 2029 годов Ни­ко­лай сни­ма­ет со счета одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму;

—  после 1 июля 2029 года на счете не долж­но остать­ся денег.

Из­вест­но, что общая сумма сня­тых со счета денег ока­жет­ся на 458 500 руб­лей боль­ше суммы, по­ме­щен­ной на счет. Най­ди­те сумму, ко­то­рую дол­жен будет по­ме­стить на счет Ни­ко­лай в 2026 году.

В рав­но­бед­рен­ном ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC на про­дол­же­ние бо­ко­вой сто­ро­ны BC опу­ще­на вы­со­та AH. Из точки H на сто­ро­ну AB и ос­но­ва­ние AC опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AM и MK равны.

б)  Най­ди­те MK, если AB  =  13, AC  =  24.

Най­ди­те все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных корня.

Дана ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых не мень­ше 80 и не боль­ше 170. Каж­дое сле­ду­ю­щее число либо де­лит­ся на преды­ду­щее, либо мень­ше преды­ду­ще­го на 2. Числа в по­сле­до­ва­тель­но­сти могут по­вто­рять­ся.

а)  Может ли быть 40 раз­лич­ных чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

б)  Может ли быть 80 раз­лич­ных чисел в по­сле­до­ва­тель­но­сти?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее ко­ли­че­ство раз­лич­ных чисел по­сле­до­ва­тель­но­сти.