PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Заметим, что:
и потому
Далее имеем:
Подставляя найденные серии в неравенство 
заключаем, что подходят 
и 
б) Значению 
соответствуют решения 
и 
оба этих корня принадлежат 
члены обеих серий больше, чем π, а при 
члены обеих серий меньше, чем 
Поэтому других решений на заданном отрезке нет.
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
и 
имеют один знак. Получаем:
Пусть четвертый и пятый платежи составляли x тыс. руб. Заполним таблицу. 
По условию сумма выплат составит 915 тыс. руб., откуда имеем:
Отметим на стороне AB точку M такую, что прямая MO параллельна прямой AC. Тогда треугольник BOM — прямоугольный, поэтому медиана NO делит его на два равнобедренных треугольника MNO и BNO, откуда 
Отрезок MO — средняя линия треугольника ANC, следовательно, 
и 
Но 
значит, треугольник ANC — равносторонний. Таким образом, 
тогда 
По теореме косинусов для треугольника ABC получаем:
системе координат xOy задает пару параллельных прямых 
и 
первая из которых проходит через точку 
а вторая — через точку 
Графиком уравнения 
является квадрат с вершинами в точках 
и 
Значит, система (⁎) при любом значении параметра даёт четыре различных решения.
вписана в квадрат 
Значит, все решения системы содержатся среди пар чисел 
являлись решениями системы (⁎⁎), то есть удовлетворяли неравенству 
Выясним, при каких значениях параметра a каждая из указанных точек является решением системы (⁎⁎).
является решением системы (⁎⁎) при 
при 
при 
и 
После этого каждый проходящий мимо человек по очереди делал следующее: увеличивал или уменьшал на 1 либо коэффициент при x, либо свободный член (но не оба сразу). Рассматриваются все возможные последовательности таких изменений, приводящие от начального к конечному трёхчлену.
был получен за минимальное количество шагов. Какое наибольшее количество многочленов с целыми корнями можно при этом получить?
ни один трехчлен не имеет целых корней.
менялось ровно на 1, при этом изначально оно было 
а в конце стало 
Значит, в какой-то момент оно было равно нулю. В этот момент многочлен имел корень −1 и по теореме Виета второй его корень также был целым (свободный член, взятый с противоположным знаком).
