Ре­ше­ние. а)  Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Далее имеем:

б)  Длина ин­тер­ва­ла равна то есть боль­ше 2π, но мень­ше 4π. Для от­бо­ра кор­ней ис­поль­зу­ем две три­го­но­мет­ри­че­ские окруж­но­сти.

Под­хо­дят числа

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро AD в точке K и ребро AB в точке N. Из усло­вия сле­ду­ет, что пря­мая KN па­рал­лель­на пря­мой BD, пря­мая KM па­рал­лель­на пря­мой SD, а пря­мая MN па­рал­лель­на пря­мой SB. Тре­уголь­ни­ки MKN и SDB по­доб­ны по двум углам, а так как то Сле­до­ва­тель­но, в тре­уголь­ни­ке MNK вер­ши­ной пря­мо­го угла может быть толь­ко точка M, зна­чит, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке SDB по­лу­ча­ем:

С дру­гой сто­ро­ны, из тре­уголь­ни­ка ADB на­хо­дим:

то есть тре­уголь­ник ASB  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му

б)  Пусть В пи­ра­ми­де ASBD па­рал­лель­ное ос­но­ва­нию се­че­ние MNK от­се­ка­ет пи­ра­ми­ду AMNK, по­доб­ную дан­ной. Из по­до­бий тре­уголь­ни­ков по­лу­ча­ем:

Объ­е­мы по­доб­ных мно­го­гран­ни­ков от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия: Се­че­ние SBD делит пи­ра­ми­ду на две рав­но­ве­ли­ких: Тогда по­лу­ча­ем:

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние си­сте­мы. Дробь в пра­вой части опре­де­ле­на, если Если урав­не­ние при­ни­ма­ет вид Если имеем:

Урав­не­ние (⁎) при за­да­ет на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти по­ло­ви­ну окруж­но­сти ра­ди­у­сом 1 с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат, ле­жа­щую пра­вее оси ор­ди­нат, а урав­не­ние (⁎⁎)  — по­ло­ви­ну окруж­но­сти ра­ди­у­сом  с цен­тром в точке  ле­жа­щую левее оси ор­ди­нат (см. рис.). Урав­не­ние за­да­ет се­мей­ство пря­мых, про­хо­дя­щих через точку  на­клон ко­то­рых за­ви­сит от зна­че­ния па­ра­мет­ра.

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет­ся с объ­еди­не­ни­ем по­лу­окруж­но­стей в един­ствен­ной точке, если если или если пря­мая ка­са­ет­ся по­лу­окруж­но­сти, ко­то­рую за­да­ет урав­не­ние (⁎⁎). Рас­смот­рим каж­дый слу­чай.

1.  Если то Пря­мая про­хо­дит через точку при а через точку (1; 0)  — при Зна­чит,

2.  Если то Тогда урав­не­ние пря­мой при­ни­ма­ет вид от­ку­да

3.  Под­ста­вим вы­ра­же­ние для y из урав­не­ния пря­мой в урав­не­ние левой по­лу­окруж­но­сти. По­лу­чим:

При­рав­ня­ем дис­кри­ми­нант по­лу­чен­но­го урав­не­ния к нулю:

Урав­не­ние ка­са­тель­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По тео­ре­ме Виета 36 яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем этих двух кор­ней, что дает ва­ри­ан­ты В каж­дом слу­чае p от­ли­ча­ет­ся зна­ком от суммы кор­ней, что дает ва­ри­ан­ты −37, −20, −15, −13.

б)  Пусть корни урав­не­ния равны x₁ и x₂, тогда по­лу­ча­ем:

По­сколь­ку 41 про­стое число, одна из ско­бок равна 1, а дру­гая 41 (при на­ту­раль­ных x₁, x₂ они не могут быть равны −41). Зна­чит, корни урав­не­ния  — числа 3 и 43.

в)  Пе­ре­пи­шем усло­вие в виде и за­ме­тим, что Кроме того, по­сколь­ку

по­лу­ча­ем, что Тогда

Если то

что не­воз­мож­но. Зна­чит,

от­ку­да и

По тео­ре­ме Виета, зная, что и можно уга­дать такие числа и дру­гих чисел не будет. Числа 8 и 15 под­хо­дят. Зна­чит, (что дает корни 3 и 5) или (что не дает целых кор­ней).

Ответ: а)  −37, −20, −15, −13; б)  3 и 43; в)  3 и 5.