Ре­ше­ние. а)  Упро­стим зна­ме­на­тель пер­вой дроби:

Обо­зна­чим тогда

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим:

б)  Корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку от­бе­рем при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят числа

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние. а)  Пусть от­ре­зок DO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки CDO, ADO и BDO равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту. Зна­чит, то есть точка O  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. От­сю­да и сле­ду­ет, что пи­ра­ми­да ABCD пра­виль­ная.

б)  Пусть от­ре­зок DH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды DBMN. Вы­ра­зим объем этой пи­ра­ми­ды двумя спо­со­ба­ми:

В пер­вой фор­му­ле ис­поль­зу­ем, что бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны, по­это­му из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABD по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

а по­то­му

Из рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков BND и BMD по­лу­ча­ем

Ана­ло­гич­но из тре­уголь­ни­ка MDN:

Вы­со­ту тре­уголь­ни­ка BMN также най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Из ра­вен­ства на­хо­дим:

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли раз­ность левой и пра­вой ча­стей не­ра­вен­ства:

Об­ла­стью опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния яв­ля­ет­ся мно­же­ство не­от­ри­ца­тель­ных чисел. На этом мно­же­стве опре­де­ле­но и вы­ра­же­ние На об­ла­сти опре­де­ле­ния вы­ра­же­ние по­ло­жи­тель­но, а по­то­му на него можно раз­де­лить, не меняя знака не­ра­вен­ства. При­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ме­то­дом ин­тер­ва­лов (см. рис.), учи­ты­вая, что на­хо­дим ответ: или

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да каж­до­го вклад­чи­ка равна К у. е. После че­ты­рех лет хра­не­ния в банке на вкла­де у Бори будет 1,1⁴ у. е. К концу пер­вых двух лет хра­не­ния вкла­да Ромы сумма вкла­да стала 1,15² K у. е., а к концу 4 лет  —  у. е.

Обо­зна­чим через m зна­че­ние вы­ра­же­ния Тогда по усло­вию за­да­чи Решим это не­ра­вен­ство от­но­си­тель­но m:

то есть

По­сколь­ку по­лу­ча­ем:

От­сю­да наи­боль­шее воз­мож­ное целое зна­че­ние ис­ко­мой про­цент­ной став­ки равно 8.

Ответ: 8.

За­ме­ча­ние.

Чтобы найти ре­ше­ние за­да­чи, нам при­ш­лось вы­чис­лить квад­рат­ный ко­рень из ше­сти­знач­но­го числа с точ­но­стью до ты­сяч­ных. Для этого можно ис­поль­зо­вать ал­го­ритм вы­чис­ле­ния корня без каль­ку­ля­то­ра (не­ко­то­рое время он пре­по­да­вал­ся в со­вест­кой школе). Од­на­ко прак­ти­че­ская ре­а­ли­за­ция этого ал­го­рит­ма в дан­ной за­да­че гро­мозд­ка.

Ре­ше­ние. а)  Че­ты­рех­уголь­ник BCDE  — па­рал­ле­ло­грамм, по­это­му В тре­уголь­ни­ках ABE и EDF углы при ос­но­ва­нии равны, а по­то­му Углы BCA и CAD равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей. Кроме того,

то есть тре­уголь­ни­ки ABC и CDF равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Зна­чит, тогда Сле­до­ва­тель­но, точки A, F, С и D лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Из до­ка­зан­но­го в пунк­те а) сле­ду­ет, что и В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции диа­го­на­ли равны, то есть Тогда ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно

Ответ: б)  8.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Решим за­да­чу гра­фо­ана­ли­ти­че­ским ме­то­дом. По­стро­им со­от­вет­ству­ю­щие урав­не­ни­ям пря­мые (вы­де­ле­но оран­же­вым) при огра­ни­че­ни­ях, за­дан­ных усло­ви­я­ми и

Пря­мые и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Пря­мые и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Гра­фи­ком по­след­не­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся пучок пря­мых, про­хо­дя­щих через точку

Пря­мая про­хо­дит через точку при (вы­де­ле­но зелёным), а через точку при (вы­де­ле­но синим). При пря­мая па­рал­лель­на пря­мой (вы­де­ле­но крас­ным), а при   — па­рал­лель­на пря­мой (вы­де­ле­но пур­пур­ным).

Ана­ли­зи­руя гра­фик по­лу­ча­ем, что:

— при си­сте­ма имеет ровно три ре­ше­ния;

— при си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния;

— при си­сте­ма имеет ровно три ре­ше­ния;

— при си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния;

— при си­сте­ма имеет ровно три ре­ше­ния;

— при си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния;

— при си­сте­ма имеет ровно одно ре­ше­ние.

Таким об­ра­зом, си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при и

Ответ: