Ре­ше­ние. а)  При­ме­ним ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство, раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят числа

Ответ: а)  б) 

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

Дана пра­виль­ная приз­ма ABCDA₁B₁C₁D₁. На реб­рах CD, CC₁ и A₁B₁ от­ме­ти­ли точки K, L и M со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что A₁M  =  MB₁, DK  =  2KC, а четырёхуголь­ник AKLM  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

а)  До­ка­жи­те, что CL  =  2LC₁.

б)  Най­ди­те объём приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁, если AA₁  =  7.

а)  Из усло­вия сле­ду­ет па­рал­лель­ность пря­мых AM и KL. Пря­мая ML пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABCD, в ко­то­рой лежит пря­мая AK, а зна­чит, па­рал­лель­ны­ми эти пря­мые быть не могут. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁M и LCK по­доб­ны по остро­му углу, от­ку­да Длина от­рез­ка KC втрое мень­ше длины ребра приз­мы, а длина от­рез­ка A₁M  — вдвое мень­ше. Зна­чит, то есть и

б)  Пусть По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ках ADK, MB₁C₁, MC₁L со­от­вет­ствен­но на­хо­дим:

Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем урав­не­ние:

Най­дем объем приз­мы:

Ответ: б)  196.

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

а)  Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть тогда:

Урав­не­ние плос­ко­сти AKM имеет вид Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты точек A, K и М, по­лу­ча­ем:

Плос­кость AKM не про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, а по­то­му Имеем:

Пусть точка L имеет ко­ор­ди­на­ты Под­ста­вим их в урав­не­ние плос­ко­сти, по­лу­чим: от­ку­да на­хо­дим: Cле­до­ва­тель­но, точка L делит ребро CC₁ в от­но­ше­нии 2 :1, счи­тая от вер­ши­ны С. Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  В вы­бран­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат Се­че­ние яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей, по­это­му

Из усло­вия сле­ду­ет, что тогда ис­ко­мый объем равен

Ре­ше­ние. Пе­ре­несём вы­ра­же­ние из пра­вой части в левую и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли, по­лу­чим:

По усло­вию Воз­мож­ны два слу­чая.

Слу­чай 1. Со­мно­жи­тель, не со­дер­жа­щий ло­га­риф­ма, равен нулю, а ло­га­рифм при этом су­ще­ству­ет:

Слу­чай 2. Ло­га­рифм равен нулю, а со­мно­жи­тель, не со­дер­жа­щий ло­га­риф­ма, при этом опре­делён:

Мно­же­ства зна­че­ний a, по­лу­чен­ные в пер­вом и вто­ром слу­чае не пе­ре­се­ка­ют­ся. Объ­еди­няя их, по­лу­ча­ем ответ:

Ответ:

Ре­ше­ние.

Это за­да­ние ещё не ре­ше­но, при­во­дим ре­ше­ние про­то­ти­па.

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Вме­сто не­ко­то­рых из чисел (воз­мож­но, од­но­го) на доске на­пи­са­ли числа, мень­шие пер­во­на­чаль­ных на еди­ни­цу. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел на доске уве­ли­чи­лось?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся рав­ным 34?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 27. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.

а)  На­при­мер, если были на­пи­са­ны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми про­ве­ли эти дей­ствия, то их сред­нее было равно 6, а после опи­сан­ных дей­ствий оно ста­нет равно 10.

б)  Пусть x ко­ли­че­ство из­на­чаль­но на­пи­сан­ных еди­ниц, ко­то­рые пре­вра­тят­ся в нули, а y  — ко­ли­че­ство про­чих умень­ша­е­мых чисел. Тогда сумма всех чисел равна а сумма всех чисел, кроме бу­ду­щих нулей, равна и их штук.

После опи­сан­ных дей­ствий будет чисел с общей сум­мой Зна­чит,

От­сю­да сле­ду­ет, что Но тогда что не­воз­мож­но.

в)  Обо­зна­чая как в пунк­те б) по­лу­ча­ем, что нужно мак­си­ми­зи­ро­вать зна­че­ние вы­ра­же­ния Оче­вид­но, сле­ду­ет взять и мак­си­ми­зи­ро­вать то есть сле­ду­ет мак­си­ми­зи­ро­вать x.

За­ме­тим од­на­ко, что сумма из­на­чаль­ных чисел не пре­вос­хо­дит от­ку­да Тогда тре­бу­е­мое вы­ра­же­ние будет равно Это воз­мож­но, на­при­мер, для на­бо­ра из шести еди­ниц, числа 14 и три­на­дца­ти чисел по 40, из ко­то­рых умень­ша­ют все еди­ни­цы и толь­ко их, по­лу­чая

Ответ:а)  да; б)  нет; в)