Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств. Для пер­вой серии по­лу­ча­ем:

от­ку­да k  =  0, k  =  1, k  =  2. Най­ден­ным зна­че­ни­ям k со­от­вет­ству­ют корни 0, и Рас­смот­рим вто­рую серию:

от­ку­да n  =  0, n  =  1, n  =  2. Най­ден­ным зна­че­ни­ям n со­от­вет­ству­ют корни и Для тре­тьей серии на­хо­дим:

от­ку­да m  =  1, m  =  2. Най­ден­ным зна­че­ни­ям m со­от­вет­ству­ют корни

Ответ: а)  б)  0,

Ре­ше­ние. а)  Грани AA₁B₁B и DD₁C₁C  — па­рал­лель­ны. В грани AA₁B₁B про­ведём пря­мую BN₁, па­рал­лель­ную CN. Пусть G  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых MB₁ и BN₁, N₁B₁  =  NC₁  =  MA₁, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки BB₁N₁ и B₁A₁M равны. Таким об­ра­зом, зна­чит,

то есть сле­до­ва­тель­но,

б)  Пусть MM₁  — пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из точки M на плос­кость DD₁C₁C. Тогда пря­мые MM₁ и AD па­рал­лель­ны, M₁C₁ и MB₁ па­рал­лель­ны. Пусть H  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CN и M₁C₁. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые MH и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны, и, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок MH  — ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Имеем:

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что раз­ло­жим на мно­жи­те­ли и при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть 5S  — сумма, ко­то­рую хочет по­ло­жить Семен Се­ме­но­вич, Так как всей суммы Семен Се­ме­но­вич по­ме­ща­ет на вклад «Рай­ский» под r% го­до­вых, а остав­шу­ю­ся часть денег на вклад «Южный» под q% го­до­вых, при этом сумма вкла­дов равна 212 000 руб­лей, по­лу­ча­ем:

Если бы Семен Се­ме­но­вич из­на­чаль­но суммы по­ло­жил на вклад «Южный», а остав­ши­е­ся сред­ства на вклад «Рай­ский», сумма вкла­дов была бы равна 218 000 руб­лей. Имеем:

По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Через 2 года сумма вкла­дов равна 224 800 руб­лей, по­это­му по­лу­ча­ем:

Тогда

Най­дем, чему была бы равна сумма вкла­дов, если бы Семен Се­ме­но­вич из­на­чаль­но суммы по­ло­жил на вклад «Южный», а остав­ши­е­ся сред­ства на вклад «Рай­ский»:

Ответ: 237 700 руб­лей.

Ре­ше­ние. а)  В тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок MN  — сред­няя линия, по­это­му она па­рал­лель­на сто­ро­не AC и Ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке AOC от­ре­зок PK  — сред­няя линия, она па­рал­лель­на сто­ро­не AC и Тогда от­рез­ки MN и PK па­рал­лель­ны и равны, зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник MNKP  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  В тре­уголь­ни­ке BCD от­ре­зок NK  — сред­няя линия, по­это­му она па­рал­лель­на сто­ро­не BD, ана­ло­гич­но в тре­уголь­ни­ке BAD от­ре­зок MP  — сред­няя линия, она па­рал­лель­на сто­ро­не BD. Тогда

Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ках MKN и PKN со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем:

Ответ: б) 

При­ме­ча­ние.

Утвер­жде­ние пунк­та а) из­вест­но под на­зва­ни­ем тео­ре­мы Ва­ри­ньо­на.

Ре­ше­ние. Пе­ре­пи­шем вы­ра­же­ние в виде

а)  Если взять и то по­лу­чим

На­при­мер по­дой­дут числа k  =  9, l  =  7, m  =  3, n  =  1.

б)  Имеем:

при­чем ра­вен­ство воз­мож­но толь­ко если Но тогда

долж­но быть чет­ным чис­лом. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Как и в преды­ду­щем пунк­те по­лу­ча­ем, что и

от­ку­да Вы­бе­рем про­из­воль­ные такие n и l, чтобы кроме пары n  =  349, l  =  350, по­то­му что для нее по­лу­чим

Зна­чит, есть 348 ва­ри­ан­тов вы­бо­ра n  — от 1 до 348  — и каж­дый из них дает один ва­ри­ант вы­бо­ра осталь­ных не­из­вест­ных.

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  348.