Ре­ше­ние. а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но при При этом усло­вии спра­вед­ли­во тож­де­ство от­ку­да по­лу­ча­ем:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

Най­ден­ным зна­че­ни­ям k со­от­вет­ству­ют корни

Ответ: a)   б)  

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что AO  =  1, по­это­му в пря­мо­уголь­ном и рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке AOA₁ имеем: A₁O  =  1, и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Пусть плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро BB₁ в точке K, ребро DD₁ в точке M и ребро CC₁ в точке  L со­от­вет­ствен­но. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ков DOA₁ и BOA₁ по­лу­ча­ем

Тогда A₁M  — вы­со­та в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке A₁D₁D, от­ку­да За­ме­тим, что ML  — вы­со­та па­рал­ле­ло­грам­ма DD₁C₁C, зна­чит, ML  =  A₁M  =  1. Кроме того, от­ку­да то есть A₁KLM  — ромб с углом 90°, и, сле­до­ва­тель­но, A₁KLM  — квад­рат.

б)  В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке DD₁C от­ре­зок ML яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром, зна­чит, точка L сов­па­да­ет с точ­кой C.

Разо­бьем мно­го­гран­ник A₁KMCC₁B₁D₁ на три пи­ра­ми­ды, тогда по­лу­чим:

Сло­жим по­лу­чен­ные объ­е­мы:

Итак,

то есть плос­кость делит объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да по­по­лам или в от­но­ше­нии 1 : 1.

Ответ: 1 : 1.

Ре­ше­ние. Пусть тогда:

Найдём корни чис­ли­те­ля:

и за­ме­тим, что

Ис­поль­зу­ем метод ин­тер­ва­лов для ре­ше­ния не­ра­вен­ства (см. рис.), по­лу­чим:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть x тыс. руб.  — вы­пла­ты 2030 и 2031 годов. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг перед бан­ком не ме­ня­ет­ся, а еже­год­ные вы­пла­ты со­став­ля­ют  тыс. руб.

В ян­ва­ре 2030 года долг (в тыс. руб.) будет равен а в июле  —

В ян­ва­ре 2031 года долг будет равен а в июле  —

По усло­вию, долг будет вы­пла­чен пол­но­стью, зна­чит, от­ку­да x  =  500. Таким об­ра­зом, пер­вые три вы­пла­ты со­став­ля­ют по 180 тыс. руб., а по­след­ние две  — по 500 тыс. руб. Общая сумма вы­плат со­став­ля­ет:

Ответ: 1540 тыс. руб.

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка P  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых BA и OC. Точки O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей. По свой­ству ка­са­тель­ных PB  =  PD и PA  =  PC, сле­до­ва­тель­но, AB  =  CD. По тео­ре­ме о квад­ра­те ка­са­тель­ной от­сю­да AM  =  DN, сле­до­ва­тель­но, от­сю­да AN  =  DM.

б)  Пря­мые O₁A и O₂B па­рал­лель­ны и O₂B  =  2O₁A, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок O₁A  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка PBO₂, от­ку­да PA  =  AB. Пусть AN  =  MN  =  MD  =  x, тогда от­ку­да Тогда По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка PAD по­лу­чим:

Пусть Имеем: от­ку­да тогда

от­сю­да Най­дем ко­си­нус угла BAD:

Тогда синус угла BAD равен Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABD:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Изоб­ра­зим на плос­ко­сти xOa гра­фик по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти. Гра­фи­ком пер­вой си­сте­мы яв­ля­ет­ся от­ре­зок AB пря­мой где и Гра­фик вто­рой си­сте­мы  — ле­жа­щая не ниже пря­мой дуга CFD окруж­но­сти с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом

Ана­ли­зи­руя гра­фик, по­лу­ча­ем, что урав­не­ние имеет ровно два корня при и где a_F  — ор­ди­на­ты со­от­вет­ству­ю­щих точек. Тогда

Найдём ор­ди­на­ту точки С  — одной из точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и окруж­но­сти :

Зна­чит, Найдём ор­ди­на­ту точки E  — одной из точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и окруж­но­сти :

Зна­чит,

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет ровно два корня при и

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть пер­вый член про­грес­сии равен a, а раз­ность про­грес­сии d.

а)  За­ме­тим, что При по­лу­ча­ем крат­ное 11 число На­при­мер, можно взять про­грес­сию

б)  Имеем:

Най­ден­ное вы­ра­же­ние крат­но 9 толь­ко при d крат­ном 9. Зна­чит,

По­лу­чен­ная сумма не де­лит­ся на 9 ни при каких n. Про­ти­во­ре­чие.

в)  До­ка­жем, что можно взять Нужно, чтобы a₁ было крат­но 19, и да­ва­ло оста­ток 22 при де­ле­нии на 23 и оста­ток 29 при де­ле­нии на 31. Под­бе­рем такое a₁. За­ме­тим, что удо­вле­тво­ря­ет по­след­ним двум усло­ви­ям. Любое дру­гое под­хо­дя­щее a₁ долж­но от­ли­чать­ся от этого на число, крат­ное и 23, и 31, то есть крат­ное 713 (и по­то­му быть не мень­ше 91). Итак,

и тогда число де­лит­ся на 19. Ми­ни­маль­ное такое x  — это 8, по­это­му ми­ни­маль­ное a₁  — это Зна­чит,

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  5799.