Ре­ше­ние. При спра­вед­ли­во тож­де­ство По­это­му при усло­вии то есть если урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

тогда

В от­ре­зок по­па­да­ют корни (см. рис.).

б)  Из най­ден­ных кор­ней на от­рез­ке лежит число

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Плос­кость MPQ пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABC по от­рез­ку PQ. По­сколь­ку точки P и Q суть се­ре­ди­ны от­рез­ков AD и BC со­от­вет­ствен­но, пря­мая PQ па­рал­лель­на пря­мой CD. Сле­до­ва­тель­но, плос­кость MPQ пе­ре­се­ка­ет плос­кость FCD по от­рез­ку MN, ко­то­рый па­рал­ле­лен пря­мой CD. За­ме­тим, что от­рез­ки MN и PQ не равны, по­сколь­ку Тогда че­ты­рех­уголь­ник MPQN  — тра­пе­ция. Тре­уголь­ни­ки MDP и NCQ равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, тра­пе­ция MPQN  — рав­но­бед­рен­ная.

б)  Най­дем объем мно­го­гран­ни­ка MNCQPD:

Най­дем объем пи­ра­ми­ды QCMN и вы­ра­зим его через объем пи­ра­ми­ды BFCD:

Тогда

от­ку­да а зна­чит,

Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но, плос­кость MPQ раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду в от­но­ше­нии

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пе­рейдём к ло­га­риф­мам по ос­но­ва­нию 5:

Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи за­пол­ним таб­ли­цу:

Наи­боль­шая и наи­мень­шая вы­пла­ты равны со­от­вет­ствен­но 0,492S и 0,248S. Тогда по усло­вию за­да­чи

Наи­мень­шее целое S, удо­вле­тво­ря­ю­щее не­ра­вен­ству, равно 406.

Ответ: 406.

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка HD. Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

сле­до­ва­тель­но,

Тогда

по­это­му

б)  Пусть точка N  — се­ре­ди­на от­рез­ка DF. Тогда по­сколь­ку а вы­со­та, про­ве­ден­ная из точки G,  — общая. Далее,

сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки GBA и GMN по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­чит,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Вне­сем со­мно­жи­тель под знак мо­ду­ля, по­лу­чим:

Пра­вая часть урав­не­ния равна раз­но­сти вы­ра­же­ний, сто­я­щих под зна­ком мо­ду­ля. По­сколь­ку

за­клю­ча­ем, что урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме не­ра­венств

Если то ре­ше­ни­ем си­сте­мы, а вме­сте с ней и ис­ход­но­го урав­не­ния, яв­ля­ет­ся любое число. Сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние под­хо­дит. Если обе части каж­до­го из не­ра­венств си­сте­мы можно раз­де­лить на по­ло­жи­тель­ную ве­ли­чи­ну со­хра­няя знаки не­ра­венств. Си­сте­ма при­ни­ма­ет вид от­ку­да

По­лу­чен­ное двой­ное не­ра­вен­ство имеет боль­ше од­но­го ре­ше­ния, если

При таких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра верно не­ра­вен­ство а по­то­му двой­ное не­ра­вен­ство имеет боль­ше семи на­ту­раль­ных ре­ше­ний тогда и толь­ко тогда, когда от­ку­да то есть При этом для рас­смат­ри­ва­е­мо­го слу­чая но зна­че­ние было про­ве­ре­но от­дель­но и ока­за­лось под­хо­дя­щим.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  При­ведём один из воз­мож­ных при­ме­ров:

1-й ход (13, 14, 7), сумма 34.

2-й ход (12, 15, 6), сумма 33.

3-й ход (11, 16, 5), сумма 32.

4-й ход (10, 17, 4), сумма 31.

5-й ход (9, 18, 3), сумма 30.

б)  До­пу­стим, уда­лось сде­лать 10 ходов. Мак­си­маль­ные суммы, ко­то­рые могли по­лу­чить­ся,

При этом были ис­поль­зо­ва­ны все числа на доске, но сумма всех чисел с доски

Суммы не равны, зна­чит, 10 ходов сде­лать не удаст­ся.

в)  До­ба­вим к пяти ходам пунк­та а) 6-й (8, 19, 2) сумма 29. Зна­чит, 6 ходов сде­лать можно. По­ка­жем, что 7 ходов сде­лать нель­зя. Пред­по­ло­жим, что мы сде­ла­ли 7 ходов, ис­поль­зо­вав 21 число, при­чем по­лу­чи­ли мак­си­маль­ные воз­мож­ные суммы 34, 33, ..., 28. Таким об­ра­зом, ми­ни­маль­ная воз­мож­ная сумма остав­ших­ся 9 чисел долж­на быть

При этом мак­си­маль­ная воз­мож­ная сумма 9 чисел из на­бо­ра по­лу­ча­ет­ся, если сло­жить

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие, 7 ходов сде­лать нель­зя.

Ответ: а)  (13, 14, 7), (12, 15, 6), (11, 16, 5), (10, 17, 4), (9, 18, 3); б)  нет; в)  6.