Ре­ше­ние. а)  Пра­вая часть урав­не­ния не­от­ри­ца­тель­на, если При таких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной обе части, воз­во­дя обе части урав­не­ния в квад­рат, по­лу­чим рав­но­силь­ное урав­не­ние. Решим его, раз­ло­жив на мно­жи­те­ли:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). На за­дан­ном от­рез­ке дежит ко­рень

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По­стро­им се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α. Пусть пря­мая ML пе­ре­се­ка­ет пря­мую AC в точке R и пря­мую BD в точке T. Плос­ко­сти SAC и α пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой RQ, где точка Q лежит на ребре SA. По­сколь­ку пря­мая SO па­рал­лель­на плос­ко­сти α, a пря­мые RQ и SO лежат в плос­ко­сти SAC, то они па­рал­лель­ны. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что пря­мая PT (где точка P лежит на сто­ро­не SD) также па­рал­лель­на пря­мой SO. Таким об­ра­зом, точки P и Q лежат в плос­ко­сти α, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник MQPL  — ис­ко­мое се­че­ние.

Пря­мая ML  — сред­няя линия тра­пе­ции ABCD, зна­чит, она па­рал­лель­на пря­мой AD. По­сколь­ку пря­мая ML при­над­ле­жит плос­ко­сти α, то по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая AD также па­рал­лель­на этой плос­ко­сти. Пря­мые AD и PQ лежат в одной плос­ко­сти SAD, сле­до­ва­тель­но, они па­рал­лель­ны, а зна­чит, пря­мая ML па­рал­лель­на QP.

Че­ты­рех­уголь­ник RQPT  — па­рал­ле­ло­грамм (пря­мая RQ па­рал­лель­на от­рез­ку PT и пря­мая ML па­рал­лель­на от­рез­ку QP), сле­до­ва­тель­но, PQ  =  RT. По­сколь­ку пря­мая ML  — сред­няя линия тра­пе­ции ABCD, то она также яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ков ABC и тре­уголь­ни­ка BСВ, сле­до­ва­тель­но,

от­ку­да

Таким об­ра­зом, зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник PQML яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Из п. а) сле­ду­ет:

По­сколь­ку пря­мые SO и AD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, и при этом пря­мые ML и AD, а также пря­мые RQ и SO между собой па­рал­лель­ны, можно за­клю­чить, что пря­мая RQ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой ML. Тогда от­ре­зок RQ  — вы­со­та тра­пе­ции MQPL. Тре­уголь­ни­ки AOD и ORT по­доб­ны по двум углам, а по­то­му:

от­ку­да

Тре­уголь­ни­ки SOA и QRA также по­доб­ны по двум углам, от­ку­да на­хо­дим:

Таким об­ра­зом,

Ответ: б) 13,75.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим два слу­чая. При по­лу­ча­ем:

С учётом усло­вия (⁎) по­лу­ча­ем

При ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но не­ра­вен­ству левая часть ко­то­ро­го от­ри­ца­тель­на. Зна­чит, в этом слу­чае ре­ше­ний нет.

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Об­ла­стью опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся по­лу­ин­тер­вал (0; 1). На этом мно­же­стве ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма мень­ше еди­ни­цы, а зна­чит, не­ра­вен­ство рав­но­силь­но не­ра­вен­ству Зна­ме­на­тель дроби, сто­я­щей в левой части не­ра­вен­ства, по­ло­жи­те­лен, по­это­му на него можно умно­жить, не меняя знака не­ра­вен­ства. Таким об­ра­зом, от­ку­да на­хо­дим, что Учи­ты­вая об­ласть опре­де­ле­ния, окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

Ре­ше­ние. Сумма от­лич­ных от нуля на­ло­го­вых сбо­ров равна про­из­ве­де­нию ве­ли­чи­ны на­ло­га за еди­ни­цу про­дук­ции на ко­ли­че­ство про­из­ве­ден­ных еди­ниц, то есть да­ет­ся функ­ци­ей где Функ­ция f(t)  — квад­ра­тич­ная с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том. На ин­тер­ва­ле (0; 6000) она до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке мак­си­му­ма По усло­вию зна­чит,

Со­ста­вим про­пор­цию:

от­ку­да

Зна­чит, чтобы до­бить­ся мак­си­маль­ных на­ло­го­вых сбо­ров, го­су­дар­ству сле­ду­ет умень­шить налог на

Ответ: 18,75.

Ре­ше­ние. а)  По по­стро­е­нию че­ты­рех­уголь­ник AODE  — па­рал­ле­ло­грамм. Зна­чит, OD  =  AE. Тре­уголь­ни­ки BOC и DOA по­доб­ны, зна­чит,

Тогда

б)  Пря­мые AE и BD па­рал­лель­ны, а по­то­му тре­уголь­ник AME по­до­бен тре­уголь­ни­ку DMB. Тогда

Сле­до­ва­тель­но, Ана­ло­гич­но ND  =  8. Зна­чит,

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Пусть тогда:

Решим не­ра­вен­ство (⁎⁎) по­лу­чен­ной си­сте­мы:

Рас­смот­рим каж­дое из по­лу­чен­ных ре­ше­ний.

При каж­дое из двух сла­га­е­мых левой части урав­не­ния (⁎) от­ри­ца­тель­но. Зна­чит, это урав­не­ние, а вме­сте в ним и ис­ход­ная си­сте­ма не имеют ре­ше­ний. При каж­дое из двух сла­га­е­мых левой части урав­не­ния (⁎) не­от­ри­ца­тель­но. Зна­чит, это урав­не­ние об­ра­ща­ет­ся в вер­ное ра­вен­ство, толь­ко при При пер­вое сла­га­е­мое равно нулю, зна­чит, либо n  =  0, либо n  =  1. При вто­рое сла­га­е­мое равно нулю, зна­чит, либо m  =  0, либо m  =  1. Таким об­ра­зом, си­сте­ма от­но­си­тель­но пе­ре­мен­ных m и n имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния: (0; 0), (0; 1), (1; 0) и (1; 1).

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной и рас­смот­рим че­ты­ре по­лу­чен­ных ре­ше­ния.

Слу­чай  1:

Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ние при a  =  0.

Слу­чай  2:

По­лу­чен­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Слу­чай  3:

Итак, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ние при

Слу­чай  4:

Сумма двух по­ло­жи­тель­ных вза­им­но об­рат­ных чисел не может быть мень­ше 2, по­это­му по­лу­чен­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, по­лу­ча­ем, что ис­ход­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ния толь­ко при и

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Ко­ли­че­ство n-⁠знач­ных чисел равно по­сколь­ку первую цифру можно вы­брать де­вя­тью спо­со­ба­ми, а осталь­ные цифры  — де­ся­тью спо­со­ба­ми. Из этих чисел 9ⁿ не со­дер­жат нулей (каж­дую цифру можно вы­брать 9 спо­со­ба­ми), по­это­му чисел со­дер­жат нули. Умень­ша­е­мое все­гда за­кан­чи­ва­ет­ся на 0, а вы­чи­та­е­мое в за­ви­си­мо­сти от чет­но­сти n  — на 1 или на 9. Зна­чит, a_n за­кан­чи­ва­ет­ся на 1 при не­чет­ных n и на 9 при чет­ных.

б)  Число за­кан­чи­ва­ет­ся на две де­вят­ки, если после при­бав­ле­ния еди­ни­цы оно на­чи­на­ет де­лить­ся на 100. Зна­чит, число

крат­но 100. При n  =  2 число a_n  =  9  — не под­хо­дит. При число крат­но 100, по­это­му число долж­но быть крат­но 100. Рас­кры­вая скоб­ки по фор­му­ле би­но­ма, по­лу­чим:

что крат­но 100 в том и толь­ко том слу­чае, когда n крат­но 10. (Можно было также пе­ре­брать остат­ки сте­пе­ней де­вят­ки от де­ле­ния на 100, они об­ра­зу­ют цикл.)

в)  За­ме­тим, что числа крат­ны 9, но не крат­ны боль­шим сте­пе­ням трой­ки. Зна­чит, все де­ли­те­ли a_n раз­би­ва­ют­ся на груп­пы вида x, 3x, 9x, где x не де­лит­ся на 3. В каж­дой такой груп­пе сумма чисел крат­на 13, по­это­му и общая сумма де­ли­те­лей крат­на 13.

Ответ: а)  1 при не­чет­ных n, 9 при чет­ных n; б)  при n, крат­ных 10; в)  нет.