Ре­ше­ние. a)  Урав­не­ние опре­де­ле­но при и Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при этих усло­ви­ях:

Числа, со­дер­жа­щи­е­ся в най­ден­ных се­ри­ях ре­ше­ний, удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям и

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим пря­мую A₁E, где E  — се­ре­ди­на BB₁. Тогда PA₁  =  RE и от­рез­ки PA₁ и RE па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник PREA₁  — па­рал­ле­ло­грамм. По­сколь­ку пря­мые A₁E и PR па­рал­лель­ны, пря­мая A₁E лежит в плос­ко­сти се­че­ния и про­хо­дит через точку Q (тре­уголь­ни­ки AQA₁ и EQB₁ по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том k  =  2). Кроме того се­че­ние со­дер­жит ребро A₁D₁ и па­рал­лель­ный ему от­ре­зок EF, где точка F  — се­ре­ди­на СС₁, и пря­мые FD₁ и A₁E па­рал­лель­ны. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах от­ре­зок A₁E пер­пен­ди­ку­ля­рен сто­ро­не A₁D₁, сле­до­ва­тель­но, се­че­ние A₁EFD₁ яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком, в ко­то­ром

Тогда

б)  Из точки Q про­ве­дем пря­мую QT, па­рал­лель­ную сто­ро­не AD, где точка T лежит в грани CDD₁C₁. Пря­мая QT лежит и в се­че­нии, и в плос­ко­сти ADC₁B₁, то есть яв­ля­ет­ся ли­ни­ей их пе­ре­се­че­ния, а зна­чит, точка T лежит на DC₁.

Пусть S  — точка пе­ре­се­че­ния AC₁ и QT, сле­до­ва­тель­но, S  — точка пе­ре­се­че­ния AC₁ с плос­ко­стью се­че­ния. По тео­ре­ме Фа­ле­са

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та равна S руб., вы­пла­та в 2026 году равна 2x руб. За­пол­ним таб­ли­цу:

Год	Долг на ян­варь, руб.	Вы­пла­та (фев - июн), руб.	Долг на де­кабрь, руб.
2025			S
2026
2027
2028		2 679 600	0

По усло­вию сумма всех пла­те­жей со­ста­вит 9 179 600 руб­лей:

Вы­ра­зим ве­ли­чи­ну кре­ди­та из урав­не­ния:

Под­ста­вим зна­че­ние x, най­ден­ное ранее:

Ответ: 7 600 000 руб­лей.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что углы CDE и CMN равны как впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу. По свой­ству смеж­ных углов

От­сю­да по­лу­ча­ем, что пря­мые MN и AB па­рал­лель­ны между собой. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что

Зна­чит, по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мые MN и XY па­рал­лель­ны. Тогда че­ты­рех­уголь­ник AXYB тра­пе­ция, впи­сан­ная в окруж­ность. Сле­до­ва­тель­но,

В рав­но­бо­кой тра­пе­ции AXYB про­ве­дем вы­со­ту XH, най­дем Зна­чит, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем, что и По тео­ре­ме си­ну­сов

от­сю­да R  =  2.

Ответ: б) 2.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла:

Пусть и Введём функ­цию где Тогда нужно, чтобы не­ра­вен­ство

Если то зна­чит, усло­вие (⁎) не вы­пол­ня­ет­ся при всех t из от­рез­ка Рас­смот­рим слу­чай Функ­ция   — нечётная, по­это­му до­ста­точ­но ис­сле­до­вать её на от­рез­ке Найдём про­из­вод­ную функ­ции и ста­ци­о­нар­ную точку: тогда

далее:

Не­ра­вен­ство (⁎) будет вы­пол­нять­ся для всех t из от­рез­ка в двух слу­ча­ях.

1 слу­чай. Если то до­ста­точ­но вы­пол­не­ния усло­вий

2 слу­чай. Если то до­ста­точ­но вы­пол­не­ния усло­вий

По­лу­чен­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Таким об­ра­зом, усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но при то есть если Вернёмся к ис­ход­но­му па­ра­мет­ру:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Числа n и n* со­дер­жат оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство цифр, по­это­му не могут от­ли­чать­ся в 10 раз.

б)  Если в числе n есть цифра, от­лич­ная от 9 и 0, за­ме­ним ее на 9. При этом n уве­ли­чит­ся, а n* умень­шит­ся, зна­чит, у ука­зан­ной дроби уве­ли­чит­ся чис­ли­тель и умень­шит­ся зна­ме­на­тель, то есть дробь уве­ли­чит­ся. Для до­сти­же­ния мак­си­му­ма нужно, чтобы число n со­сто­я­ло из нулей и де­вя­ток, тогда число n* со­сто­ит из нулей и еди­ниц (на ме­стах, со­от­вет­ству­ю­щих ме­стам де­вя­ток в n), от­ку­да и

в)  Со­кра­тим n и n* на мак­си­маль­но воз­мож­ную сте­пень де­сят­ки. После этого они не будут за­кан­чи­вать­ся на 0, а их от­но­ше­ние не из­ме­нит­ся. Кроме того по пунк­ту б) это от­но­ше­ние не пре­вос­хо­дит 9. При­ве­дем не­сколь­ко при­ме­ров.

При n  =  9 по­лу­ча­ем

При n  =  8 по­лу­ча­ем

При n  =  5 по­лу­ча­ем

При n  =  185 по­лу­ча­ем

До­ка­жем, что дру­гих ва­ри­ан­тов нет. Пусть   — по­след­няя цифра n. Пусть, на­при­мер, тогда за­кан­чи­ва­ет­ся на a, от­ку­да крат­но 10, крат­но 10, то есть 3a крат­но 10, что не­воз­мож­но.

Пусть тогда за­кан­чи­ва­ет­ся на a, от­ку­да крат­но 10, то есть крат­но 10, 4a крат­но 10, что воз­мож­но толь­ко при a  =  5.

Пусть тогда за­кан­чи­ва­ет­ся на a, от­ку­да крат­но 10, то есть крат­но 10, то есть 7a крат­но 10, что не­воз­мож­но.

Пусть тогда за­кан­чи­ва­ет­ся на a, от­ку­да крат­но 10, то есть крат­но 10, крат­но 10, что воз­мож­но толь­ко при

Пусть тогда за­кан­чи­ва­ет­ся на a, от­ку­да крат­но 10, то есть крат­но 10, то есть 9a крат­но 10, что не­воз­мож­но.

Оста­лось разо­брать слу­чай, когда n кон­ча­ет­ся на 5 и боль­ше чем n* в 3 или 7 раз. Сразу от­ме­тим, что если n кон­ча­ет­ся на 05, то и n* тоже и по­это­му 3n*, 7n* кон­ча­ют­ся на 15,35 со­от­вет­ствен­но.

Пусть   — пред­по­след­няя цифра n, тогда 10 – b  — пред­по­след­няя цифра n*, от­ку­да кон­ча­ет­ся на то есть

крат­но 100 (здесь Тогда: крат­но 100 и крат­но 100.

При x  =  3 по­лу­ча­ем крат­но 100, от­ку­да крат­но 10. Это не­воз­мож­но, не­чет­но.

При x  =  7 по­лу­ча­ем крат­но 100, от­ку­да крат­но 10. Это не­воз­мож­но, не­чет­но.

Ответ: а)  нет; б)  9; в)  1, 4, 5, 9.