PDF-версии: 1. Тип 13 № 633390 
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. a) Пусть 
тогда
Вернёмся к исходной переменной:
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку 
с помощью двойного неравенства:
Тогда 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 633390
а) б)
б) Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Через точку К ребра МС и вершины А и В проходит плоскость α так, что площадь сечения пирамиды плоскостью α относится к площади основания как 
Тогда
подбором найдем его рациональный корень 
затем разделим этот многочлен на 
«в столбик» или применив схему Горнера. Получим:
Заполним таблицу:
получаем:
и 
находим:
тогда 
и 
По теореме косинусов
и 
и 
Из свойства хорд 
находим:
тогда
то есть 
следовательно, 
Выражение 
положительно при всех значениях x, поэтому на него можно разделить, откуда получаем уравнение 
их сумма равна 
поэтому корни суть 
и 
Получаем равносильную систему:
и 
если выполняется условие
если выполняется условие
Этими решениями являются пары чисел 
и 
При других значениях параметра исходная система будет иметь или три, или четыре различных решения.
система имеет три решения 
система имеет четыре решения 
система имеет два решения 
система имеет четыре решения 
система имеет три решения 
а 
подойдет прогрессия со знаменателем 
368, 460, 575.
поэтому 
Это число должно быть равно степени знаменателя прогрессии. Тогда эта степень, очевидно, первая, поскольку корни любой натуральной степени из этого числа будут иррациональны и не могут быть знаменателями прогрессии. Значит, следующий член прогрессии равен 
то есть условие о трехзначности не выполняется.
тогда последний член прогрессии равен 
Для этого 
иначе 368 не разделится даже на b2. Разберем случаи.
и третий член прогрессии превосходит 1000:
для третьего члена прогрессии получаем:
прогрессию составляют числа 368, 46 и 575; при 
получаем