Ре­ше­ние. а)  При­ме­ним фор­му­лы при­ве­де­ния и фор­му­лу раз­но­сти ко­си­ну­сов, затем раз­ло­жим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние на мно­жи­те­ли:

б)  Отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, L  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CO и DM, P  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CO и DB. За­ме­тим, что DP  =  PB, CP  =  PO, CM  =  3, CK  =  3. При­ме­ним тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка BCP и пря­мой DM:

Тогда

сле­до­ва­тель­но, пря­мые KL и SO па­рал­лель­ны, а пря­мая KL пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BCD, а зна­чит, по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти плос­ко­стей, плос­ко­сти MDK и BCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Из п. а) по­лу­ча­ем, что тре­уголь­ни­ки CKL и CSO по­доб­ны. Далее имеем:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим и при­ме­ним фор­му­лу квад­ра­та раз­но­сти. По­лу­чим:

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, на­хо­дим:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

В по­след­нем шаге ре­ше­ния долж­на быть имен­но си­сте­ма усло­вий, а не со­во­куп­ность.

Это же ре­ше­ние можно за­пи­сать не­сколь­ко иначе.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство, вы­де­лив пол­ный квад­рат:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит S тыс. руб. За­пол­ним таб­ли­цу:

Год	Долг в ян­ва­ре, тыс. руб.	Вы­пла­та, тыс. руб.	Долг в июле, тыс. руб.
2026
2027
2028
2029

Долг в июле 2029 года будет вы­пла­чен пол­но­стью, по­лу­ча­ем урав­не­ние:

Ответ: 700.

При­ве­дем ре­ше­ние Игоря Эль­ма­на (Москва).

Пусть пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит S тыс. руб. Вы­дан­ный под про­цен­ты кре­дит можно рас­смат­ри­вать как раз­ме­ще­ние бан­ком де­по­зи­та на счете за­ем­щи­ка. При от­сут­ствии опе­ра­ций ве­ли­чи­на этого де­по­зи­та за три года до­стиг­нет 1,2³S  тыс. руб. Вы­пла­ты банку, в свою оче­редь, можно рас­смат­ри­вать как от­кры­тие за­ем­щи­ком в банке де­по­зит­но­го счета. За три года с уче­том по­пол­не­ний на этом счете на­ко­пит­ся тыс. руб. По­сколь­ку долг был вы­пла­чен пол­но­стью, по­лу­ча­ем урав­не­ние:

от­ку­да S  =  700.

Ре­ше­ние. а)  Про­ведём пря­мую PQ. Четырёхуголь­ник APQC впи­сан в окруж­ность (см. левый рис), сле­до­ва­тель­но,

Четырёхуголь­ник BPQC впи­сан в окруж­ность, зна­чит,

Сле­до­ва­тель­но, пря­мые AC и BD па­рал­лель­ны по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай, когда от­рез­ки AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся (см. пра­вый рис.). Тогда

Зна­чит, пря­мые AC и BD па­рал­лель­ны по при­зна­ку па­рал­лель­ных пря­мых.

б)  Пусть точки O₁ и O₂  — цен­тры окруж­но­стей, а пря­мые O₁M и O₂N  — пер­пен­ди­ку­ля­ры, про­ведённые из O₁ и O₂ к пря­мой AB. Точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка AP, точка N  — се­ре­ди­на от­рез­ка PB, зна­чит, За­ме­тим, что от­ре­зок MN  — про­ек­ция от­рез­ка O₁O₂ на пря­мую AB, сле­до­ва­тель­но, от­ку­да Ана­ло­гич­но Зна­чит, Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся в слу­чае, когда пря­мые AB и PQ вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пря­мые CD и PQ вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Ответ: б) 4.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

Пусть тогда

Ис­ход­ная си­сте­ма имеет ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда имеет ре­ше­ние вто­рое урав­не­ние по­лу­чен­ной си­сте­мы. Левая часть этого урав­не­ния за­ви­сит толь­ко от t, а пра­вая  — толь­ко от а. По­это­му урав­не­ние имеет ре­ше­ния тогда и толь­ко тогда, когда его левая и пра­вая части при­ни­ма­ют одно и то же мно­же­ство зна­че­ний. Чтобы найти мно­же­ство зна­че­ний левой части урав­не­ния, за­пи­шем его в виде

и пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ную левую часть:

Обо­зна­чим тогда вы­ра­же­ние в скоб­ках в левой части урав­не­ния можно за­пи­сать как и При функ­ция z(t) при­ни­ма­ет все не­от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния. Функ­ция при не опре­де­ле­на, а при по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях z при­ни­ма­ет все зна­че­ния, не мень­шие 2. По­это­му левая часть урав­не­ния при­ни­ма­ет все зна­че­ния, не мень­шие

Най­дем, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра пра­вая часть урав­не­ния при­ни­ма­ет такие же зна­че­ния:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Мы могли при­нять и вос­поль­зо­вать­ся из­вест­ным утвер­жде­ни­ем о том, что мно­же­ство зна­че­ний функ­ции пред­став­ля­ет собой луч Можно было бы, на­о­бо­рот, не сво­дить за­да­чу к из­вест­ной, а, по­лу­чив урав­не­ние

вве­сти в рас­смот­ре­ние функ­цию При по­мо­щи про­из­вод­ной можно найти мно­же­ство зна­че­ний этой функ­ции: Этим за­да­ча све­де­на к не­ра­вен­ству

При­е­дем ре­ше­ние Вик­то­ра Ко­ше­ле­ва.

За­ме­тим, что Пусть тогда

Пе­ре­пи­шем си­сте­му, ис­поль­зуя новые пе­ре­мен­ные:

Умно­жив пер­вое урав­не­ние на и при­ба­вив к нему вто­рое, по­лу­чим

Эта си­сте­ма, а вме­сте с ней и ис­ход­ная, имеет ре­ше­ние тогда и толь­ко тогда, когда

Решая по­лу­чив­ше­е­ся не­ра­вен­ство, по­лу­ча­ем

Ре­ше­ние. а, б) Да. Пусть было три книги с це­на­ми 5 руб., 95 руб. и 995 руб. После по­вы­ше­ния цены стали 15, 105, 1005 руб. При этом сред­няя цена книг без бирки была 995 руб., а стала а сред­няя цена книг с бир­кой была а стала 15 руб.

в)  До­пу­стим было x книг с ценой до 90 руб. (они были и оста­лись вы­год­ны­ми), было y книг с ценой от 90 до 100 руб., ко­то­рые пе­ре­ста­ли быть вы­год­ны­ми, и было z книг с ценой от 100 руб­лей  — они не были вы­год­ны­ми из­на­чаль­но. Тогда сум­мар­ная цена всех книг со­став­ля­ла сум­мар­ная цена вы­год­ных а сум­мар­ная цена осталь­ных 226z руб. После по­до­ро­жа­ния сум­мар­ная цена новых вы­год­ных со­став­ля­ет 90x руб., а новых не­вы­год­ных Это дает два урав­не­ния:

Упро­щая си­сте­му, по­лу­чим

Зна­чит, от­ку­да и Сле­до­ва­тель­но, всего книг было Такой ва­ри­ант воз­мо­жен, если из­на­чаль­но было 4 книги по 226 руб., одна книга за и 15 книг по 80 руб.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  20.