а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) При условии 
исходное уравнение эквивалентно следующим:
Каждое из слагаемых в левой части не меньше −1, поэтому их сумма равна −2 тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно −1. Решим уравнение 
получим 
то есть 
Проверим для найденных решений выполнение условия 
Используем периодичность синуса, применим формулу приведения, получаем:
Равенство 
истинно для всех нечетных k и только для них. Следовательно, решениями уравнения (⁎) являются числа 
где 
— любое нечетное число. Эти числа удовлетворяют условию 
поскольку обращают косинус в нуль. Таким образом, все они являются корнями исходного уравнения.
б) Решим двойное неравенство:
Найденному значению k соответствует корень 
Ответ: а) 
б)
Примечание.
Ответ к пункту а) можно записать в виде 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
Составим таблицу
Эта окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AC.
то есть 
Решая это уравнение как квадратное относительно AB, получаем, что 
или 
В первом случае получаем, что 
тогда 
Во втором случае получаем, что 
тогда 
В обоих случаях треугольник ABC прямоугольный. Что и требовалось доказать.
а с другой стороны, площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр, то есть 
Приравнивая эти выражения получаем, что x = 1. Тогда площадь треугольника ABC равна 
получим AC = 3 и AB = 5. Либо AF = 2r = 2, AB = 2 · AF = 4 и, учитывая соотношение 
получим AC = 3 и BC = 5. В любом случае периметр треугольника ABC равен 3 + 4 + 5 = 12, а его площадь 
где 
Функция f возрастающая как сумма двух возрастающих функций, поэтому каждое своё значение она принимает один раз. Тогда равенство значений функции означает равенство аргументов, а значит, исходное уравнение равносильно уравнению 
то есть уравнению
Результат операции будем называть квазипроизведением чисел m и n. 
Будут ли квазичетными числами сумма и произведение двух квазичетных чисел? А трех или четырех?
то есть квазичетны в точности те числа, которые дают остаток 2 при делении на 3. Ясно что произведение двух таких чисел даст остаток 1, трех — остаток 2 и четырех — остаток 1, поэтому для двух и четырех ответ нет, а для трех — да.
где y — основание треугольника, а x — его боковая сторона. Чем меньше x, тем меньше и y, поэтому задача свелась к поиску решения этого уравнения с наименьшим x. При x = 4 и y = 6 имеем 
поэтому треугольник 4, 4, 6 с периметром 14 подходит. Перебор меньших значений x ответов не дает.