Ре­ше­ние. а)  Сде­ла­ем за­ме­ну по­лу­чим:

Таким об­ра­зом,

б)  Корни, ле­жа­щие на от­рез­ке най­дем при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. По­лу­чим

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды ромб ABCD, вер­ши­на  — S, ос­но­ва­нию пер­пен­ди­ку­ляр­ны грани SAB и SBC. Ука­зан­ные грани пе­ре­се­ка­ют­ся по ребру SB, пер­пен­ди­ку­ляр­но­му плос­ко­сти ос­но­ва­ния (по­сколь­ку плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­ная дру­гой плос­ко­сти, со­дер­жит пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную этой плос­ко­сти). Из точки B на рёбра AD и CD опу­стим вы­со­ты ромба BK и BL со­от­вет­ствен­но. Тогда по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах SK пер­пен­ди­ку­ляр­на AD, а SL пер­пен­ди­ку­ляр­на CD. Таким об­ра­зом, углы SKB и SLB  — ли­ней­ные углы дву­гран­ных углов при рёбрах AD и CD со­от­вет­ствен­но. За­ме­тим те­перь, что (как вы­со­ты ромба) и, сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки SBK и SBL равны, а зна­чит, углы SKB и SLB равны.

б)  За­ме­тим, что пря­мая SB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABCD, по­это­му пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мые SB и AB, а также пря­мые SB и BC. Сле­до­ва­тель­но, угол ABC равен 120°. Таким об­ра­зом, про­ек­ци­ей бо­ко­вой грани SAD на плос­кость ос­но­ва­ния яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABD, а рав­ной ей грани SCD  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник BCD. За­ме­тим те­перь, что из усло­вия и п. а) Сле­до­ва­тель­но,

Зная пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABD, найдём сто­ро­ну и вы­со­ту ос­но­ва­ния:

от­сю­да

Ответ: б)

Ре­ше­ние. По­де­лим обе части не­ра­вен­ства на раз­ло­жим по­лу­чен­ный таким об­ра­зом чис­ли­тель на мно­жи­те­ли:

При­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции и метод ин­тер­ва­лов. На ОДЗ знак вы­ра­же­ния сов­па­да­ет со зна­ком вы­ра­же­ния а знак сов­па­да­ет со зна­ком За­ме­тив, что а по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка B  — се­ре­ди­на от­рез­ка KL, точка C  — се­ре­ди­на от­рез­ка NM. За­ме­тим, что по тео­ре­ме о сред­ней линии от­рез­ки BP и QC па­рал­лель­ны диа­го­на­ли LN и равны её по­ло­ви­не. По­это­му PBQC  — па­рал­ле­ло­грамм. Его диа­го­на­ли точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Зна­чит, эта точка лежит на пря­мой KM. Обо­зна­чим эту точку A. Точки P и Q рав­но­уда­ле­ны от точки A, а зна­чит, и от пря­мой KM. Таким об­ра­зом, и вер­ши­ны N и L рав­но­уда­ле­ны от пря­мой KM. Таким об­ра­зом, пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков NKM и KLM равны. Сле­до­ва­тель­но,

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Имеем:

Сле­до­ва­тель­но, по­это­му От­сю­да, по тео­ре­ме ко­си­ну­сов, диа­го­на­ли че­ты­рех­уголь­ни­ка PBQC равны Без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что Далее, по фор­му­ле пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка

По­лу­ча­ем, что

Ответ:

Ре­ше­ние. На каж­дом ком­би­на­те в день может быть за­тра­че­но 1000 че­ло­ве­ко-смен труда. Пусть на пер­вом ком­би­на­те на из­го­тов­ле­ние де­та­ли A еже­днев­но будет за­тра­че­но х че­ло­ве­ко-смен, а на вто­ром ком­би­на­те − y² че­ло­ве­ко-смен. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Де­таль A		Де­таль B
	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-смен	Ко­ли­че­ство де­та­лей за смену, шт	Ко­ли­че­ство че­ло­ве­ко-смен	Ко­ли­че­ство де­та­лей за смену, шт
Пер­вый ком­би­нат	x	3x
Вто­рой ком­би­нат		10y
Всего

Для про­из­вод­ства из­де­лия ко­ли­че­ство из­го­тов­лен­ных де­та­лей B долж­но быть ровно в три раза боль­ше ко­ли­че­ства из­го­тов­лен­ных де­та­лей A:

Пусть n  — ко­ли­че­ство из­де­лий, ко­то­рые соберёт завод за смену, оно равно ко­ли­че­ству де­та­лей A. Учи­ты­вая ра­вен­ство (⁎), имеем:

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции где Для этого ис­сле­ду­ем функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной:

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю и найдём кри­ти­че­ские точки:

За­ме­тим, что при ра­вен­ство (⁎) вы­пол­ня­ет­ся, если

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции равно Зна­чит, завод смо­жет со­би­рать 400 из­де­лий за смену.

Ответ: 400.

При­ме­ча­ние.

Про­чти­те ре­ше­ние за­да­ния 513302 и при­ме­ча­ния к нему.

Ре­ше­ние. Пусть зна­чит, Тогда по­лу­чим си­сте­му

Решим за­да­чу графо-ана­ли­ти­че­ским спо­со­бом. Гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы (на ри­сун­ке вы­де­ле­но синим) яв­ля­ет­ся объ­еди­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем и двух лучей, за­да­ва­е­мых урав­не­ни­ем за ис­клю­че­ни­ем точки Гра­фик вто­ро­го урав­не­ния пред­став­ля­ет собой пучок пря­мых, про­хо­дя­щих через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, с не­от­ри­ца­тель­ным уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том.

При гра­фик вто­ро­го урав­не­ния имеет с гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния две общие точки (на ри­сун­ке вы­де­ле­но зелёным), при пря­мая пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в двух точ­ках и пе­ре­се­ка­ет один из лучей, то есть всего име­ют­ся три общие точки. При пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке и пе­ре­се­ка­ет один из лучей в точке то есть име­ют­ся две общие точки. При пря­мая не имеет общих точек с окруж­но­стью, но пе­ре­се­ка­ет каж­дый из двух лучей, то есть также име­ют­ся две общие точки.

Зна­чит, си­сте­ма имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния при или Вернёмся к па­ра­мет­ру a:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Раз­ность этих чисел равна

Если вы­брать n так, чтобы (то есть n  =  26), то по­лу­чен­ное число будет крат­но 69, а из­на­чаль­ные два будут да­вать оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 69.

б)  Одно из этих чисел четно, а дру­гое не­чет­но. Зна­чит, они не могут да­вать оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на чет­ное число.

в)  Как и в пунк­те а), по­лу­чим, что крат­но 68. Если m не­чет­но, то это про­из­ве­де­ние двух не­чет­ных чисел и оно не крат­но 68. Пусть тогда

крат­но 68. То есть крат­но 17. Если x крат­но 17, то все такие числа крат­ны 17, что нам не­вы­год­но. Зна­чит, n + x крат­но 17. Под­хо­дя­щие n по­па­да­ют­ся через каж­дые 17 чисел. В ка­че­стве x можно вы­би­рать числа от 5 до 49 (по­сколь­ку 2x  — дву­знач­ное число).

Среди чисел от 100 до 984 ровно 52 числа с каж­дым остат­ком от де­ле­ния на 17. А среди чисел от 985 до 999 нет, на­при­мер, числа с остат­ком 14 (таким чис­лом было бы 1000). По­это­му если вы­брать x  =  20 (то есть m  =  40), то будет 52 под­хо­дя­щих числа.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  52.