PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 7. На его ребре BB1 отмечена точка K так. что KB = 4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P : PB1 = 1 : 3, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Основанием прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной 
высота призмы равна 
Точка K — середина ребра BB1. Через точки K и C1 проведена плоскость α параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольник.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, R соответственно так, что PA = AQ = RC = 2.
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 24, а боковое ребро SA равно 19. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Поскольку плоскость PQR перпендикулярна ребру SD, искомое расстояние равно DE.
