Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 12 № 77499

Найдите наименьшее значение функции y=3 минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 4 плюс 5x минус 5 корень из { 2} синус x на отрезке  левая квадратная скобка 0; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

{y}'(x)=5 минус 5 корень из { 2} косинус x.

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 система выражений  новая строка 5 минус 5 корень из { 2} косинус x=0,  новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 конец системы . равносильно система выражений  новая строка косинус x= дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2  новая строка 0 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 конец системы . равносильно x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 .

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

y левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка =3 минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 4 плюс 5 дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 минус 5 корень из { 2} синус ( дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 )= минус 2.

 

Ответ: −2.

Классификатор базовой части: 3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания, 3.2.5 Точки экстремума функции, 3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции, 4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков, Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка