Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного остроугольного треугольника ABC и его высоты CH.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину отрезка BC, BO = 1 и AC = 6.
а) Пусть 
Следовательно,
Луч CO — биссектриса угла BCH, поэтому 
откуда
Луч НО — биссектриса прямого угла BHC, отсюда 
и 
Таким образом, сумма углов AHO и ACO четырёхугольника AHOC равна 180°, а потому около него можно описать окружность. Следовательно, 
б) Около четырехугольника AHOC можно описать окружность, поэтому получаем 
Пусть точка M — середина отрезка AC, тогда отрезок OM является медианой прямоугольного треугольника AOC, проведённой к гипотенузе. Следовательно, 
Отрезок BM — медиана равнобедренного треугольника ABC, поэтому отрезок BM является его высотой и биссектрисой, то есть центр O окружности, вписанной в треугольник CBH, лежит на отрезке BM. Следовательно, 
Таким образом, по теореме Пифагора для треугольника BCM получаем:
Ответ: б) 5.