РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 701089 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций, Неравенства смешанного типа, Иррациональные уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

а)  Решите уравнение $дробь: числитель: 4 синус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка конец аргумента конец дроби = 0.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Уравнение определено, если $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка больше 0,$ то есть если $синус x меньше 0.$ Преобразуем уравнение при этом ограничении:

$дробь: числитель: 4 синус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка конец аргумента конец дроби = 0 равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x минус 5 плюс 10 синус в квадрате x минус 1 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x плюс 10 синус в квадрате x минус 6 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений синус в квадрате x = минус 3, синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . синус x меньше 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x меньше 0 конец системы . равносильно синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: 4 синус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка конец аргумента конец дроби = 0 равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x минус 5 плюс 10 синус в квадрате x минус 1 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x плюс 10 синус в квадрате x минус 6 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений синус в квадрате x = минус 3, синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . синус x меньше 0 конец совокупности . равносильно система выражений синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x меньше 0 конец системы . равносильно синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: 4 синус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка конец аргумента конец дроби = 0 равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x минус 5 плюс 10 синус в квадрате x минус 1 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x плюс 10 синус в квадрате x минус 6 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений синус в квадрате x = минус 3, синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . синус x меньше 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно система выражений синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x меньше 0 конец системы . равносильно синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: 4 синус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка конец аргумента конец дроби = 0 равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x минус 5 плюс 10 синус в квадрате x минус 1 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x плюс 10 синус в квадрате x минус 6 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений синус в квадрате x = минус 3, синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . синус x меньше 0 конец совокупности . равносильно система выражений синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $дробь: числитель: 4 синус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка конец аргумента конец дроби = 0 равносильно$
$равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x минус 5 косинус 2x минус 1 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x минус 5 плюс 10 синус в квадрате x минус 1 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4 синус в степени 4 x плюс 10 синус в квадрате x минус 6 = 0, синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений синус в квадрате x = минус 3, синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . синус x меньше 0 конец совокупности . равносильно система выражений синус в квадрате x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно синус x = минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходит число  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

701089

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	701089	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$