PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике ABC 
проведены высоты AA1 и CC1. Известно, что 
а площадь треугольника A1BC1 
а) Докажите, что касательная, проведенная к описанной около треугольника АВС окружности в точке В, параллельна прямой A1C1.
б) Найдите площадь треугольника НА1С1, где Н — ортоцентр треугольника АВС.
Решение. а) Пусть прямая BL касается окружности в точке B. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду, поэтому
Углы AC1C и AA1C — прямые, следовательно, точки C1 и A1 лежат на окружности с диаметром AC. Из вписанного четырехугольника AC1A1C находим 
Градусные меры смежных углов в сумме дают 180°, откуда 
Таким образом, при пересечении прямых A1C1 и BL секущей CB образовались равные накрест лежащие углы BLC и BA1C1, поэтому эти прямые параллельны.
б) По теореме о сумме углов треугольника находим 
Длина катета, лежащего против угла в 30°, равна половине длины гипотенузы, поэтому из треугольников CA1H, AC1H, AA1B и CC1B соответственно получаем:
Площади треугольников, имеющих по равному углу, относятся как произведения сторон, заключающих этот угол, поэтому
Отсюда 
Четырехугольник C1BA1H можно вписать в окружность, поэтому
Пусть 
тогда 
Следовательно,
а потому
Треугольники ABC и A1BC1 подобны по двум углам, площадь первого в четыре раза больше второго, поэтому коэффициент подобия 
По теореме косинусов для треугольника HA1C1 получаем:
то есть
Подстановкой полученного выражения в выражение (*) находим:
Таким образом, искомая площадь равна
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |