PDF-версии: 
В пирамиде SABCD основанием является прямоугольник ABCD 
а все боковые рёбра пирамиды равны. Из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.
а) Докажите, что 
б) Найдите объем пирамиды, если 
а площадь основания пирамиды равна 48.
Решение. а) Пусть отрезок SO — высота пирамиды. Из условия следует, что прямоугольные треугольники SOA, SOB, SOC и SOD равны по катету и гипотенузе, а потому точка O — центр основания пирамиды. Прямая BH перпендикулярна плоскости SAD по условию, поэтому она перпендикулярна прямым AH и AD этой плоскости. Прямые AB и AD перпендикулярны по определению прямоугольника, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярны прямые AH и AD. Прямые BC и AD параллельны, тогда прямые BC и AH перпендикулярны. Таким образом, прямая AH перпендикулярна двум прямым плоскости CBH, а потому и всей этой плоскости, в частности лежащей в ней прямой CH.
б) Треугольник AHC — прямоугольный, по теореме Пифагора для него находим:
С другой стороны, из треугольника ABC получаем 
то есть
Длина отрезка AB положительна и меньше длины отрезка AD, поэтому 
откуда 
и 
где точка M — середина ребра AD.
Углы SMO и HAB равны как линейные углы общего двугранного угла при ребре AD. Следовательно, прямоугольные треугольники SOM и BHA подобны по двум углам, поэтому верны отношения 
откуда
Таким образом,
Ответ: б) 48.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |