Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 696422
i

Внут­ри квад­ра­та ABCD от­ме­че­на точка О, а через нее про­ве­де­ны пря­мые, па­рал­лель­ные сто­ро­нам квад­ра­та, пе­ре­се­ка­ю­щие сто­ро­ны АВ, ВС, CD и DA в точ­ках X, Y, Z и T со­от­вет­ствен­но, DY  — бис­сек­три­са угла XYC.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка XBYO в два раза боль­ше пло­ща­ди ZDTO.

б)  Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что тан­генс \angle DYC = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а пло­щадь наи­мень­ше­го из пря­мо­уголь­ни­ков, на ко­то­рые квад­рат де­лит­ся пря­мы­ми XZ и YT равна 15.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть AB = a, AX = x, CY = y, \angle CYD = \angle XYD = альфа , тогда

\angle BYX = 180 гра­ду­сов минус 2 альфа ,

тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: y конец дроби ,

S_ZDTO = xy,

S_XBYO = левая круг­лая скоб­ка a минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус y пра­вая круг­лая скоб­ка .

Для угла BYX по­лу­ча­ем:

тан­генс \angle BYX = тан­генс левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус 2 альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = минус тан­генс 2 альфа = дробь: чис­ли­тель: 2 тан­генс альфа , зна­ме­на­тель: тан­генс в квад­ра­те альфа минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на \dfraca, зна­ме­на­тель: y конец дроби \dfraca в квад­ра­те y в квад­ра­те минус 1 = дробь: чис­ли­тель: 2ay, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те минус y в квад­ра­те конец дроби .

С дру­гой сто­ро­ны, тан­генс \angle BYX = дробь: чис­ли­тель: BX, зна­ме­на­тель: BY конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a минус x, зна­ме­на­тель: a минус y конец дроби . При­рав­ня­ем по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния тан­ген­са:

дробь: чис­ли­тель: 2ay, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те минус y в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a минус x, зна­ме­на­тель: a минус y конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2ay, зна­ме­на­тель: a плюс y конец дроби = a минус x рав­но­силь­но 2ay = левая круг­лая скоб­ка a плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 2ay = a в квад­ра­те минус ax плюс ay минус xy рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус ax минус ay минус xy = 0 рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус ax минус ay плюс xy = 2xy рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: a левая круг­лая скоб­ка a минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус y левая круг­лая скоб­ка a минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = xy рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a минус y пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = xy,

то есть дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_XBYO = S_ZDTO.

б)  Из усло­вия тан­генс \angle DYC = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му CY = дробь: чис­ли­тель: 2a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , BY = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Для угла BYX по­лу­ча­ем:

тан­генс \angle BYX = дробь: чис­ли­тель: 2ay, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те минус y в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2a умно­жить на \dfrac23 a, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те минус \dfrac49 a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \dfrac43 a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \dfrac59 a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Сле­до­ва­тель­но, BX = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби BY = дробь: чис­ли­тель: 4a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , AX = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Най­дем пло­ща­ди че­ты­рех пря­мо­уголь­ни­ков, на ко­то­рые квад­рат де­лит­ся пря­мы­ми XZ и YT:

S_AXOT = AX умно­жить на AT = AX умно­жить на BY = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби ,

S_ZDTO = ZD умно­жить на ZO = AX умно­жить на CY = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби ,

S_XBYO = 2S_ZDTO = дробь: чис­ли­тель: 4a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби ,

S_YCZO = CY умно­жить на CZ = CY умно­жить на BX = дробь: чис­ли­тель: 2a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Наи­мень­шая из по­лу­чен­ных пло­ща­дей равна 15, по­это­му дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби = 15, от­ку­да a = 15.

 

Ответ: б)  15.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 530
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026