PDF-версии: 
Александр задумал натуральное число a и посчитал сумму его цифр, эту сумму он обозначил b. Затем он посчитал сумму цифр числа b и обозначил ее через c. Оказалось, что среди чисел a, b и c нет одинаковых.
а) Может ли 
б) Может ли 
в) Сколько существует четырехзначных чисел a, для которых 
Решение. Как известно, число и его сумма цифр дают одинаковые остатки от деления на 3 и на 9, поэтому все три числа дают один и тот же остаток.
а) Например, подойдет 
для которого 
и 
б) При сложении трех чисел с одинаковым остатком от деления на 3 сумма всегда делится на 3. Но 2000 не делится на 3.
в) Сумма цифр четырехзначного числа не превосходит 
а сумма цифр чисел до 36 не превосходит 
Значит, подойдут все числа, дающие остаток 4 при делении на 9 (среди чисел до 11 это только 4, поэтому 
кроме тех, которые имеют сумму цифр 4, для них 
Среди 9000 четырехзначных чисел ровно 
чисел имеют каждый конкретный остаток от деления на 9.
Теперь посчитаем числа с суммой цифр, равной 4. Выпишем все варианты набрать 4 четырьмя цифрами и для каждого укажем количество перестановок:
— 4000 — одно число;
— 3100 — шесть чисел (два способа выбрать первую цифру и потом три способа поставить вторую ненулевую цифру);
— 2200 — три числа;
— 2110 — девять чисел (три начинаются с 2, шесть начинаются с 1);
— 1111 — одно число.
Итого 
чисел не подходят, а 
чисел подходят.
Ответ: а) да; б) нет; в) 980.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |