PDF-версии: 
В прямоугольной трапеции ABCD с меньшей боковой стороной АВ = 4 и 
из вершины D на диагональ АС опущен перпендикуляр DH. При этом треугольники АВС и DHA равны. Точки О1 и О2 — центры окружностей, вписанных в треугольники АВС и DHA.
а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна CD.
б) Найдите площадь четырёхугольника О1CDO2.
Решение. а) По условию треугольники ABC и DHA — прямоугольные и равные, поэтому
а треугольник ADC — равнобедренный, 
Точка O1 является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC. Треугольник AO1C — равнобедренный, стороны AO1 и O1C равны как радиусы. Получаем:
Луч AO2 — биссектриса в равнобедренном треугольнике ACD. Значит, отрезок AO2 — высота и медиана этого треугольника, 
Градусная мера внешнего угла треугольника равна сумме градусных мер двух углов, не смежных с ним, а градусная мера вписанного угла вдвое меньше градусной меры центрального угла, если они опираются на одну дугу, поэтому:
Отсюда следует, что треугольник DNO2 — прямоугольный и равнобедренный, 
Из прямоугольного треугольника ADN получаем:
Хорда AC стягивает углы AO1C и AO2C, поэтому они равны. Значит, равны и треугольники AO1C и AO2C: 
Отсюда 
поэтому четырехугольник O1O2NC — прямоугольник по определению. Следовательно, прямая О1О2 параллельна CD.
б) Пусть отрезок CP — высота треугольника ACD, тогда 
Из прямоугольных треугольников CPD и AND соответственно находим:
Вычислим искомую площадь:
Ответ: б) 7,5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |