а) Пусть p — простое число, отличное от 3. Докажите, что число 111…11 (p единиц) не делится на p.
б) Пусть p > 5 — простое число. Докажите, что число 111…11 (p — 1 единица) делится на p.
Решение. а) Заметим, что 
Согласно малой теореме Ферма 
и 10 дают одинаковый остаток при делении на p, поэтому 
не делится на p (так как 9 не делится на p).
б) Заметим, что 
Если простое число больше 5, то оно взаимно просто с числами 9 и 10. По малой теореме Ферма 
делится на p, поэтому и 
делится на 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |