РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найти все значения a, при которых система

$система выражений 1 минус корень из: начало аргумента: |x минус 1| конец аргумента = корень из: начало аргумента: 7|y| конец аргумента ,49y в квадрате плюс x в квадрате плюс 4a=2x минус 1. конец системы .$

имеет ровно 4 различных решения.

Решение. Сделаем замену $корень из: начало аргумента: |x минус 1| конец аргумента =t,$ $корень из: начало аргумента: 7|y| конец аргумента =u.$ Очевидно, $u, v больше или равно 0,$ причем если $u=0,$ то x определится однозначно $левая круглая скобка x=1 правая круглая скобка ,$ а если $u больше 0,$ то существует два различных значения x. Аналогичное утверждение верно и про υ, и y.

Получим систему

$левая фигурная скобка \beginaligned новая строка t плюс u=1, новая строка t в степени 4 плюс u в степени 4 = минус 4a. \endaligned .$

Если у нее есть решение. в котором $u,t больше 0,$ оно даст 4 решения в терминах x, y.

Если одно из чисел равно нулю, то будет 2 решения.

Оба числа нулю равны быть не могут (не выполнится первое уравнение).

Разберем несколько случаев.

1)  Есть пара, в которой одно из чисел равно нулю. Тогда второе равно единице, $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ Получаются решения $левая круглая скобка 1;0 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка ,$ а других не получается:

$t в степени 4 плюс левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка в степени 4 минус 1=0,$

$2t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 6t в квадрате минус 4t=0,$

$2t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус t плюс 2 правая круглая скобка =0.$

Получаются $2 умножить на 2=4$ решения исходной системы, что нас вполне устраивает.

2)  Такой пары нет. Заметим, что вместе с парой $левая круглая скобка t,u правая круглая скобка$ решением будет также пара $левая круглая скобка u;t правая круглая скобка ,$ что потенциально дает уже 8 решений. Значит, некоторые из них должны совпадать. Ясно, что все 4 решения, полученные из одной пары, различны. Поэтому либо две четверки решений полностью совпадают, либо это просто одна и та же пара чисел, то еcть $u= v = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

В этом случае $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби ,$ и оно подходит:

$t в степени 4 плюс левая круглая скобка 1 минус t правая круглая скобка в степени 4 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби =0,$

$16t в степени 4 минус 32t в кубе плюс 48t в квадрате минус 32t плюс 7=0,$

$левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 4t в квадрате минус 4t плюс 7 правая круглая скобка =0.$

И других корней, действительно, нет.

Если же $u не равно v ,$ то, очевидно, четверки решений не могут полностью совпадать хотя бы потому, что y в каждой четверке решений принимает два противоположных значения, а x  — два значения, сумма которых равна двум, поэтому иксы из одной четверки не смогут оказаться игреками из другой. Если же мы знаем про пару чисел, кто из них x, а кто y, то пара $левая круглая скобка u, v правая круглая скобка$ восстанавливается однозначно. Итак, в этой ситуации мы будем иметь больше четырех решений, что нас не устроит.

Ответ: $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

№ п/п	№ задания	Ответ
1	689071	$a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби .$

Ключ