РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 689065 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 81

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства

Партия проходит в Думу, если по результатам голосования набирает более 6% голосов избирателей. Для каждой такой партии найдутся две другие партии, каждая из которых набрала меньшее число голосов, но суммарно они набрали больше голосов.

а)  Могут ли принять участие в выборах 6 партий?

б)  Могут ли принять участие в выборах 5 партий?

в)  Пусть m  — количество партий, прошедших в Думу, n  — количество партий, не прошедших в Думу. Найдите максимальное значение выражения m/n.

Решение. а)  да, приведем пример: 6 партий набрали соответственно: 6%, 6%, 11%, 16%, 26%, 35% голосов

б)  Пусть имеется k партий, набравших $a_1 меньше или равно a_2 меньше или равно ... меньше или равно a_k$ процентов голосов, при этом $a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_k=100.$ Понятно, что партии 1 и 2 не пройдут в Думу, иначе для каждой из них не найдется двух других партий с меньшим числом голосов. Значит, $a_1 меньше или равно a_2 меньше или равно a_6.$ Следовательно, $a_3 меньше a_1 плюс a_2 меньше или равно 12$ (по условию), при том, что число голосов упорядочено по возрастанию. Если третья партия не прошла в Думу, то $a_3 меньше или равно 6,$ если прошла, то $a_3 меньше 12.$

Аналогично $a_4 меньше a_3 плюс a_2 меньше 12 плюс 6=18,$ $a_5 меньше 18 плюс 12=30.$

Итак, $a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4 плюс a_5 меньше 6 плюс 6 плюс 12 плюс 18 плюс 30=72 меньше 100,$ значит, в выборах не могло участвовать ровно 5 партий.

Ответ: нет.

в)   $n\geqslant2,$ найдем максимальное значение $m.$

$a_1 плюс a_2 больше 6 →a_3 плюс ... плюс a_k меньше 94,$ если $k\geqslant18,$ то $a_3 плюс ... плюс a_k больше левая круглая скобка 18 минус 2 правая круглая скобка умножить на 6=96,$ что невозможно,

значит $k меньше или равно 17$ → $m=k минус n меньше или равно 17 минус 2=15$ → $m/n меньше или равно 15/2.$ Приведем пример, когда значение 7,5 достигается: $a_1=a_2=3,5, a_3=...=a_17=93/15.$

Ответ: а) да; б) нет; в) 7,5.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: нет. а) да; б) нет; в) 7,5.

689065

нет. а) да; б) нет; в) 7,5.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 81

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	689065	нет. а) да; б) нет; в) 7,5.