РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 689018 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 28.04.2014. Досрочная волна. Вариант 2;

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2014.

Методы геометрии: Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружности, Окружность, описанная вокруг треугольника

Планиметрическая задача. Описанные окружности и треугольники

Точка O  — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠BAC + ∠AKC  =  90°.

а)  Докажите, что четырехугольник OBKC вписанный.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KBC, если известно, что радиус описанной окружности треугольника ABC равен 12, а cos∠BAC  =  0,6.

Решение. а)  Пусть $\angle A= альфа ,$ тогда $\angle BOC=2 альфа ,\angle OBC=\angle BCO=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус 2 альфа правая круглая скобка =90 градусов минус альфа ,$ как углы при основании равнобедренного треугольника OBC. Из условия $\angle BAC плюс \angle AKC=90 градусов,$ следует, что $\angle AKC=90 градусов минус альфа .$ Тогда $\angle OBC=\angle AKC.$ Откуда, по свойству вписанных углов, следует, что точки О, В, К, С лежат на одной окружности.

б)  По условию, $косинус \angle BAC=0,6,$ тогда $синус \angle BAC=0,8.$ Рассмотрим $\Delta ABC:$ в нем $дробь: числитель: BC, знаменатель: синус \angle BAC конец дроби =2R,BC=2 умножить на 12 умножить на 0,8=19,2.$ В обозначениях пункта а): $\angle A= альфа ,\angle BOC=2 альфа ,$ тогда $\angle BKC=180 градусов} минус 2 альфа ,$ так как четырехугольник OBKC вписанный.

$синус левая круглая скобка 180 градусов минус 2 альфа правая круглая скобка = синус 2 альфа =2 синус альфа умножить на косинус альфа ,$

тогда

$синус \angle BKC=2 умножить на 0,8 умножить на 0,6=0,96.$

Рассмотрим треугольник KBC:

$дробь: числитель: BC, знаменатель: синус \angle BKC конец дроби =2R,$ $R= дробь: числитель: 19,2, знаменатель: 2 умножить на 0,96 конец дроби =10.$

Ответ:10.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 10.

689018

10.

Источники:

ЕГЭ по математике 28.04.2014. Досрочная волна. Вариант 2;

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2014.

Методы геометрии: Теорема синусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	689018	10.