PDF-версии: 
а) Приведите пример семизначного числа, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из
б) Существует ли восьмизначное число, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из
в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от 1 до 50 включительно, вычеркивая цифры.
Решение. а) Например, из числа 2 983 506 получается каждое из чисел: 206, 835, 930.
б) В перечисленных числах встречаются все цифры от 1 до 8, значит, каждая из этих цифр должна присутствовать в восьмизначном числе по одному разу. Тогда цифра 4 должна следовать в записи после цифры 2, 5 — после 4, 8 — после 5, 2 — после 8. Таким образом, двойка должна следовать в записи после самой себя, что невозможно.
в) Заметим, что из искомого числа должны получаться числа 11, 22, 33 и 44, поэтому в его записи должны присутствовать не менее двух единиц, двух двое, двух троек и двух четверок и каждая из остальных цифр. То есть в числе должно быть не меньше 14 цифр. Четырнадцатизначное число 12 341 234 506 789 удовлетворяет условию задачи.
Покажем, что не существует меньшего числа, удовлетворяющего условию задачи. Для каждого разряда числа, начиная от старшего, будем выбирать наименьшую возможную цифру.
Первая цифра не может быть меньше 1. Заметим, что нуль должен идти после четвёрки, поскольку иначе нельзя получить число 40; между двумя единицами должны быть двойка и тройка, поскольку иначе нельзя получить числа 21 и 31, поэтому вторая цифра должна быть 2. Между двумя двойками должна быть тройка, поскольку иначе нельзя получить число 32, поэтому третья цифра должна быть 3. Далее можно использовать по порядку наименьшие оставшиеся цифры, кроме нуля, до тех пор, пока не появится пятерка. После неё должен идти нуль, а затем оставшиеся цифры в порядке возрастания.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |