Тип 14 № 681258 
Стереометрическая задача. Угол между плоскостями
i
Дана правильная призма ABCA1B1C1. Точка K лежит на ребре AB и делит его в отношении AK : KB = 3 : 1. Точка L — середина ребра BC. Плоскость α проходит через точки K и L и пересекает ребра B1C1 и A1B1 в точках M и N соответственно. Известно, что B1M : MC1 = 3 : 1.
а) Докажите, что MN ⊥ AB.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью основания призмы, если все рёбра призмы равны.
Решение. 
а) Пусть точка H — середина ребра AB, тогда прямая CH перпендикулярна этому ребру. Отрезок KL — средняя линия треугольника CHB, значит, он параллелен прямой CH, а следовательно, также перпендикулярен ребру AB. Плоскость α пересекает плоскости ABC и A1B1C1 по параллельным прямым, значит, прямые MN и KL параллельны. А если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая ей перпендикулярна.
б) Пусть 
Пусть также точки 
и 
— проекции точек M и N на плоскость основания призмы. Тогда эти точки — середины отрезков LC и HK соответственно. Заметим, что 
а потому 
и 
Из прямоугольных треугольников 
LKB и NMB1 соответственно получаем:
Найдем площадь трапеции 
Пусть 
тогда в трапеции KLMN равны высоты:
Следовательно, высота этой трапеции равна
а ее площадь
По теореме о площади проекции для искомого угла φ получаем:
откуда 
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 681258
б) 
PDF-версии: 
