PDF-версии: 
Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD. Плоскость α проходит через ребро AB и пересекает ребра SC и SD в точках M и N соответственно. Известно, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите косинус угла между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды.
Решение. а) Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, значит, ребра AB и DC параллельны, а потому и плоскость α параллельна ребру DC. Следовательно, лежащая в плоскости α прямая MN также параллельна ребру DC. Тогда треугольники SNM и SDC подобны по двум углам
б) Пусть MN = x и SM = y, тогда MC = 4y и AB = AN = BM = 5x, и пусть точки K, P и Q — середины отрезков AB, MN и DC соответственно.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен PK, а гипотенуза равна BM. Тогда второй катет такого треугольника будет
Косинус искомого угла равен косинусу угла между прямыми, перпендикулярными линии пересечения этих плоскостей, то есть 
—
В равнобедренном треугольнике SBC найдем косинус угла SCB:
Косинус этого же угла выразим из треугольника MBC:
Приравняем полученные значения:
Наконец, подставим в выражение для косинуса искомого угла:
Ответ: б) 
Приведем другое решение пункта б) Александра Турбанова (Липецк).
Пусть MN = x, опустим на основание равнобедренной трапеции ANMB две высоты — MH и NH'. Тогда BH = AH' = 2x. Из прямоугольного треугольника BMH по теореме Пифагора 
Следовательно, площадь трапеции равна
Спроектируем трапецию ANMB на плоскость основания и получим равнобедренную трапецию AN'M'B, диагонали которой перпендикулярны. Значит, ее площадь равна половине произведения диагоналей, то есть
Площадь ортогональной проекции трапеции на плоскость равна площади этой трапеции, умноженной на косинус угла между плоскостями трапеции и ее проекции, а потому
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
б)