РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 021.

а)  Может ли среди записанных на доске чисел быть число 351?

б)  Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 11?

в)  Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом n. Найдите наименьшее возможное значение n.

Решение. Любые два написанных числа дают одинаковые остатки от деления на 3, 4, 5, 6: если взять два, три, четыре или пять других чисел и добавить к ним одно из этих двух, то в обоих случаях сумма будет кратна 3, 4, 5 и 6, значит, у заменяющих друг друга чисел одинаковые остатки. Следовательно, разность любых двух написанных чисел кратна 3, 4, 5 и 6, а потому кратна их наименьшему общему кратному  — числу 60. Таким образом, все написанные числа дают одинаковые остатки от деления на 60  — такие же как число 30 021, то есть 21, и имеют вид 60k + 21. Напротив, если у всех чисел остатки одинаковы, то сумма трех, четырех, пяти или шести из них будет кратна 3, 4, 5 и 6.

а)  Число 351 при делении на 60 дает остаток 51, поэтому оно не подходит.

б)  Заметим, что

$11 левая круглая скобка 60k плюс 21 правая круглая скобка = 660k плюс 231 = 60 левая круглая скобка 11k плюс 3 правая круглая скобка плюс 51,$

то есть при умножении на 11 остаток от деления на 60 изменится, и новое число не будет среди написанных.

в)  Нужно, чтобы $n левая круглая скобка 60k плюс 21 правая круглая скобка$ тоже давало остаток 21 при делении на 60, то есть чтобы число

$n левая круглая скобка 60k плюс 21 правая круглая скобка минус 21 = 60kn плюс 21 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$

было кратно 60. Первое слагаемое кратно 60, а для второго требуется, чтобы $n минус 1$ было кратно 20, то есть $n больше или равно 21.$

В качестве примера для $n=21$ можно взять числа 30 021, 21, $441 = 21 умножить на 21$ и любые другие семь чисел, дающие при делении на 60 остаток 21.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  21.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	681201	а)  нет; б)  нет; в)  21.

Ключ