РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 680463 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 504

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых решением неравенства

$дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка натуральный логарифм \dfrac4 плюс x минус a, знаменатель: 3 конец дроби корень из: начало аргумента: 6 минус x конец аргумента меньше или равно 0$

является отрезок длиной 1.

Решение. Неравенство определено при $x меньше 6.$ Знаменатель принимает лишь положительные значения, пользуясь методом рационализации, получим:

$система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка натуральный логарифм дробь: числитель: 4 плюс x минус a, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 0, x меньше 6 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4 плюс x минус a, знаменатель: 3 конец дроби минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0, x меньше 6, 4 плюс x минус a больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0, x меньше 6, x больше a минус 4. конец системы .$ $система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка натуральный логарифм дробь: числитель: 4 плюс x минус a, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 0, x меньше 6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4 плюс x минус a, знаменатель: 3 конец дроби минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0, x меньше 6, 4 плюс x минус a больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0, x меньше 6, x больше a минус 4. конец системы .$ $система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка натуральный логарифм дробь: числитель: 4 плюс x минус a, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно 0, x меньше 6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 4 плюс x минус a, знаменатель: 3 конец дроби минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0, x меньше 6, 4 плюс x минус a больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0, x меньше 6, x больше a минус 4. конец системы .$

Если $a минус 1 больше 2,$ есть $a больше 3,$ то решением этого неравенства является промежуток $левая квадратная скобка 2; a минус 1 правая квадратная скобка .$ Дополнительные условия $x больше a минус 4$ или $x меньше 6$ могут изменить его, но тогда он перестанет быть отрезком и станет интервалом. Значит, $a минус 1 = 3,$ то есть $a = 4,$ и дополнительные условия не влияют на отрезок.

Если $a минус 1 меньше 2,$ то есть $a меньше 3,$ то решением этого неравенства является отрезок $левая квадратная скобка a минус 1; 2 правая квадратная скобка .$ Заметим, что $a минус 4 меньше a минус 1$ и $2 меньше 6.$ Значит, $a минус 1 = 1,$ то есть $a = 2.$

Если $a минус 1 = 2,$ то есть $a = 3,$ то решением этого неравенства будет только $x = 2,$ что не подходит.

Ответ: $a = 2$ или $a = 4.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет	3
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений	2
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: $a = 2$ или $a = 4.$

680463

$a = 2$ или $a = 4.$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 504

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	680463	$a = 2$ или $a = 4.$