PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение.
Решение. Парабола
и прямая 
разбивают полуплоскость 
плоскости xOy на четыре области, в каждой из которых неравенство 
или верно, или неверно. Подставим координаты пробных точек в неравенство:
Точка 
—
Точка 
—
Точка 
—
Точка 
—
Множество точек, координаты которых являются решением системы
выделено оранжевым.
Преобразуем уравнение исходной системы:
Уравнение 
задаёт пучок прямых, проходящих через 
При 
прямая является касательной к параболе в точке 
(при достигается равенство значений функций и равенство значений производных).
При 
прямая не имеет общих точек с множеством решений системы
значит, исходная система не имеет решений. При 
найдется хотя одна общая точка, значит, и исходная система имеет хотя бы одно решение.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |