РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 677067 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 497

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенс, Однородные тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла, Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к однородным

а)  Решите уравнение $2 косинус в квадрате x плюс 3 синус 2x = 4 плюс 3 косинус 2x.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 5 Пи ; 6 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Заметим, что $косинус x не равно 0,$ и преобразуем уравнение:

$2 косинус в квадрате x плюс 3 синус 2x = 4 плюс 3 косинус 2x равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате x плюс 6 синус x косинус x = 4 левая круглая скобка синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно синус в квадрате x минус 6 синус x косинус x плюс 5 косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно тангенс в квадрате x минус 6 тангенс x плюс 5=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений тангенс x =1, тангенс x =5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, x = арктангенс 5 плюс Пи n, конец совокупности . k, n принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойных неравенств. Для первой серии получаем:

$5 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k меньше или равно 6 Пи равносильно целая часть: 4, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 меньше или равно k меньше или равно целая часть: 5, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 равносильно k=5.$

Найденному значению k соответствует корень $дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ Рассмотрим вторую серию: заметим, что $0 меньше арктангенс 5 меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ тогда

$5 Пи меньше или равно арктангенс 5 плюс Пи n меньше или равно 6 Пи равносильно целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 меньше n меньше 6 равносильно n=5.$

Найденному значению n соответствует корень $арктангенс 5 плюс 5 Пи .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; арктангенс 5 плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $арктангенс 5 плюс 5 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

677067

а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; арктангенс 5 плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $арктангенс 5 плюс 5 Пи .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 497

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	677067	а)  $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; арктангенс 5 плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $арктангенс 5 плюс 5 Пи .$